¿Cómo puedo demostrar que existe tal medida de probabilidad?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico y $\{P_n\}$ sea una secuencia de medidas de probabilidad (Borel) sobre $X$ .

Supongamos que $\lim_{n\to \infty} \int_X g dP_n$ existe para cada $g\in C_b(X,\mathbb{R})$ y lo denotamos por $I(g)$ .

Tenga en cuenta que $I(g)\geq 0$ si $g\geq 0$ . Por lo tanto, $I:C_b(X,\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ es un funcional lineal positivo.

Además, supongamos que $I(g_k)\to 0$ para toda secuencia monotónicamente decreciente $g_{k+1}\geq g_k\geq \cdots \geq 0$ tal que $g_k\to 0$ en el sentido de la palabra.

En esta situación, ¿cómo demuestro que existe una medida de probabilidad (Borel) $P$ en $X$ tal que $I(g)=\int_X gdP$ para cada $g\in C_b(X,\mathbb{R})$ ?

Conozco el teorema de Lusin y el teorema de representación de Riesz-Kakutani. Intenté utilizar estos dos teoremas para demostrar la existencia de tales $P$ pero no funcionó bien. ¿Cómo puedo probar esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $\tilde{X}$ denotan la compactación Stone-Cech de $X$ . Entonces $\tilde{X}$ es un espacio compacto de Hausdorff, y, por la densidad de $X$ en $\tilde{X}$ el dual de $C_{b}(X)$ es "naturalmente" isomorfo al dual de $C_{b}(\tilde{X})$ . En particular, $P_{n} \rightharpoonup P$ con respecto a $C_{b}(\tilde{X})$ para alguna medida de probabilidad $P$ en $\tilde{X}$ .

Afirmamos que $P(X) = 1$ . (Tenga en cuenta que $P(\tilde{X}) = 1$ ya que las funciones constantes están en $C_{b}(\tilde{X})$ .) Para ver esto, basta con mostrar que, para cada $\epsilon > 0$ Hay un $K \subseteq X$ tal que $P(K) \geq 1 - \epsilon$ .

Para ello, defina una secuencia $(g_{k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq C_{b}(X)$ tal que \begin{equation*} g_{k}(x) = \frac{\text{dist}(x,B(0,k))}{\text{dist}(x,B(0,k)) + \text{dist}(x,X \setminus B(0,k + \frac{1}{2}))}. \end{equation*} Observe que $g_{k}(x) = 0$ si $x \in B(0,k)$ , $g_{k}(x) = 1$ si $x \in X \setminus B(0,k + \frac{1}{2})$ y $g_{k} \in [0,1]$ en todas partes. Además, $g_{k} \geq g_{k + 1}$ y $\lim_{k \to \infty} g_{k}(x) = 0$ si $x \in X$ .

Obsérvese, además, que $P(B(0,k + 1)) \geq \int_{\tilde{X}} (1 - g_{k}(x)) \, P(dx) = 1 - I(g_{k})$ . Así, para cada $\epsilon > 0$ Hay un $k \in \mathbb{N}$ tal que $P(B(0,k + 1)) \geq 1 - \epsilon$ . Esto completa la prueba.

Todas estas ideas se pueden encontrar en estas bonitas notas de clase: https://www.math.leidenuniv.nl/~vangaans/jancol1.pdf