Problema de los campos intermedios en la extensión

Question

Dejemos que $E,K$ sean campos intermedios en la extensión $L/F$

(a) Si $[EK:F]$ es finito, entonces

$$[EK:F] \leq [E:F][K:F] $$

(b) Si $E$ y $K$ son algebraicas sobre $F$ entonces también lo es $EK$

Para (a), intento dos formas:

(1) Trato de demostrar que $[EK:K]\leq [E:F]$ y $[EK:E]\leq [K:F]$ .

(2) $x_1,\dotsc,x_m$ son base de $E/F$ , $y_1,\dotsc,y_n$ son base de $K/F$ Pero, ¿cómo se puede demostrar que $\{x_iy_j\}$ span $EK$ ?

Answer 1

Pistas:

A. Bases de selección $S$ (resp. $T$ ) para $E/F$ (resp. $K/F$ (. Demuestre que los productos $st,s\in S, t\in T$ abarcan todo $EK$ .

B. Repasa lo que sabes sobre productos y sumas de dos elementos algebraicos.

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Ampliando... En ambas partes, A y B, sabes que $E$ y $K$ son algebraicas. Esto implica que el compositum es $$ EK=\{\sum_{i=1}^n e_ik_i\mid n\in\mathbb{N}; e_i\in E, k_i\in K\ \text{for all $ i $}\}, $$ es decir, los elementos del compositum son sumas finitas de productos de elementos de $E$ y $K$ .

Para la parte A puedes elegir las bases $S=\{s_1,s_2,\ldots,s_m\}$ y $T=\{t_1,t_2,\ldots,t_n\}$ como en la insinuación. Tome una suma $\sum_i e_ik_i$ como en el caso anterior. Para todos los $i$ puede escribir $e_i=\sum_j a_{ij}s_j$ y $k_i=\sum_\ell b_{i\ell}t_\ell$ con todos los coeficientes $a_{ij},b_{i\ell}\in F$ . Conectando esto se ve que $$ \sum_ie_ik_i=\sum_{j=1}^m\sum_{\ell=1}^n\left(\sum_{p,q}a_{pj}b_{q\ell}\right)s_jt_\ell. $$ Así que todos los elementos de $EK$ puede escribirse como $F$ -combinaciones lineales de los elementos $s_jt_\ell$ . Por lo tanto, los elementos $s_jt_\ell$ span $EK$ . Hay $mn=[E:F][K:F]$ de ellos.

En la parte B se supone que debes recordar los resultados que dicen que si todos los elementos $e_i$ y $k_i$ son algebraicas sobre $F$ entonces también lo son los productos $e_ik_i$ . Y también que la suma $$ e_1k_1+e_2k_2+e_3k_3+\cdots+e_nk_n $$ es algebraico como suma de elementos algebraicos.