¿No tiene sentido dy/dx si se toma cada término por separado?

Question

Estoy leyendo Cálculo de Kline: Un enfoque intuitivo y físico. El autor menciona que dy/dx es un término confuso para representar la derivada porque dy/dx parece un cociente cuando realmente no lo es y el autor también añade que dy/dx siempre debe tomarse como una combinación y nunca por separado.

Mis preguntas:

1) ¿No es dy/dx en realidad un cociente? Es la tasa de cambio de y dividida por la tasa de cambio de x, ¿no es así? Por ejemplo, cuando hablamos de velocidad instantánea la llamamos ds/dt. ¿No es el cociente de la distancia recorrida en un intervalo de tiempo y el intervalo de tiempo (cuando el intervalo se aproxima a 0, por supuesto).

2) si dy/dx no es realmente un cociente, ¿cómo se nos permiten manipulaciones como:

(i) (dy/dx) . (dx/dy) = 1

(ii) [esto se ve cuando usamos la sustitución para integrar]

Integrar $e^(5x + 2)$ $dx$

ahora utilizamos la sustitución,

u = $5x + 2$

du/dx = 5

du = 5 $dx$ (¿Cómo se permite multiplicar por dx en ambos lados si se supone que dy/dx se toma como un todo?)

Answer 1

Hay dos notaciones diferentes que parecen iguales:

(1) El operador diferencial, se escribe $\frac{d}{dx}$ . Esto toma una función como entrada y devuelve una función. Por lo tanto, si tiene $y=f(x)$ entonces $\frac{dy}{dx}$ significa $$ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}f(x). $$ En otras palabras, el operador $\frac{d}{dx}$ está actuando en $f$ , girando $f(x)$ en una nueva función.

(2) Diferenciales. Puede que haya visto con $u$ -sustitución, cuando $y=f(x)$ , $dy=f'(x)dx$ . Se trata de una relación entre un cambio infinitesimal en $x$ y un cambio infinitesimal en $y$ . Así, cuando $x$ cambia por una cantidad increíblemente pequeña, $y$ cambia en una cantidad increíblemente pequeña correspondiente. Estos dos pequeños cambios son tan pequeños que están infinitesimalmente cerca de cero. Para ver lo que son, tienes que cancelar la parte infinitesimalmente pequeña, así que $\frac{dy}{dx}$ es un cociente de dos cantidades infinitesimales. Utilizando la fórmula $dy=f'(x)dx$ , obtenemos que $$ \frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)dx}{dx}=f'(x). $$

Ahora, la confusión es que tenemos que la misma notación significa dos conceptos diferentes. Por suerte, ambos conceptos se evalúan con el mismo valor. Por lo tanto, podemos intercambiar pensando en $\frac{dy}{dx}$ de dos maneras diferentes (por eso la notación es la misma).

Answer 2

En un marco weierstrassiano desprovisto de infinitesimales, no tenemos más remedio que afirmar que dy/dx es una notación única y no un cociente. En el marco de Abraham Robinson, donde sí tenemos infinitesimales, también podemos tratarlo como un cociente. Para más información, véase esta respuesta .