Seguramente ambos deberían funcionar con el mismo conjunto de funciones. ¿Por qué sólo se utiliza la transformada del coseno en JPEG? ¿Por qué no el seno? Parece que el uso de la transformada de Fourier en lugar de la transformada del coseno daría lugar a números complejos, pero ¿por qué debería ser un problema en absoluto, seguramente sabemos cómo hacer las matemáticas con los números complejos y no son uselss.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se ha dicho en los comentarios, los cosenos y los senos sólo se diferencian por el desfase. La diferencia en su rendimiento surge de su comportamiento en el límite. En un intervalo $[0,\ell]$ el sistema sinusoidal $\left\{\sin \frac{2\pi n }{\ell}\right\}$ satisface la condición de contorno de Dirichlet, alcanzando el valor cero en $0,\ell$ .
Una función genérica, por ejemplo, la que describe el brillo de una imagen, no tiene por qué tomar valores nulos en la frontera (ni satisfacer ninguna otra condición de frontera en la que podamos pensar). Por lo tanto, no se puede aproximar uniformemente mediante una combinación lineal de senos.
Por otro lado, el sistema de coseno $\left\{\cos \frac{2\pi n }{\ell}\right\}$ satisface la condición de contorno de Neumann, teniendo cero derivado en $0,\ell$ . El límite valores no están fijados como en el caso de los senos. Esto permite aproximar uniformemente funciones continuas (razonables*) mediante una serie de Fourier del coseno; el hecho de que no podamos aproximar uniformemente el derivado no es tan perjudicial.
A modo de ilustración, he aquí $e^x$ aproximado por los senos y por los cosenos (después del desplazamiento del intervalo de $[-1,1]$ a $[0,2]$ ), con el mismo número de términos de la serie de Fourier utilizados (tomado de mi blog ):
Sines
Cosenos
* Es difícil construir una función continua para la que la serie de Fourier del coseno no converja a ella uniformemente en el intervalo de aproximación. Es seguro decir que una función continua "natural" no será tal contraejemplo.
