Cómo encontrar los valores propios de la siguiente matriz circulante en bloque

Question

Tengo una matriz de bloques de tamaño PN x PN de la forma

Donde A y C son matrices P x P. Me gustaría encontrar los valores propios de la matriz B, es decir

donde

Answer 1

$$\det(B) = \det(A-C)^{N-1}*\det(A+(N-1)C)$$

He jugado con los números hasta que he encontrado esta fórmula. No tengo ninguna prueba aparte de que funciona para (lotsa) valores que he probado.

Usando esto se pueden obtener los valores propios a través de la ecuación característica:

$$0 = \det(B - \lambda I_{PN} ) = \det((A-\lambda I_P)-C)^{N-1}*\det((A-\lambda I_P)+(N-1)C)$$

Answer 2

Se puede avanzar si $A,C$ son matrices diagonalizables conmutables, entonces se sabe que tienen un conjunto común de vectores propios. Llamémoslas $v_i$ . A continuación, observe que la matriz $M$ puede escribirse como un polinomio en la matriz circulante donde la fila superior es $(0,0,...,0,1)$ y en cada fila hacia abajo se permutan cíclicamente las entradas de este vector hacia la derecha.

Se trata de una matriz ortogonal cuyos vectores y valores propios no son demasiado difíciles de calcular. Llamamos a esta matriz circulante $T$ entonces la matriz $M$ es igual a $T^{n-1}+T^{n-2}+...+T$ . Insertando los vectores propios de $T$ tensada con los vectores propios comunes de $A$ y $C$ se obtienen los valores propios de la matriz $B$ .

Por desgracia, no veo que se pueda hacer nada en el caso general.