Dejemos que $c_{0}=\{(x_{i})_{i\geq 1} | x_{i}\in\mathbb{K}\text{ and } \lim_{i\rightarrow\infty}x_{i}=0\}$ . Supongamos que $y_{i}\in\mathbb{K}$ , $i=1,2,\ldots$ , de tal manera que \begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i}, \end{align} converge $\forall (x_{i})_{i\geq 1}\in c_{o}$ . Utilice la limitación uniforme para demostrar que $(y_{i})_{i\geq 1}\in\ell^{1}$ . ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ )
La idea es construir una familia de operadores $(T_{n})$ tal que el resultado final por el Principio de Acotamiento Uniforme es $\sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}|<\infty\implies\sum_{i=1}^{\infty}|y_{i}|<\infty$ .
Así que intenté definir $T_{n}:=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}|$ tal que $T_{n}x=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}|x_{i}$ . Sin embargo, \begin{align} \sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}x|=\bigg|\sum_{i=1}^{\infty}|y_{i}|x_{i}\bigg|, \end{align} no está limitado por los supuestos de la pregunta.
Así que procedí a probar $T_{n}:=\sum_{i=1}^{n}y_{i}$ tal que $T_{n}x=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}$ . En este caso, \begin{align} \sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}x|=\bigg|\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}x_{i}\bigg|<\infty, \end{align} por la suposición, \begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i}<\infty. \end{align} Esto implica, por supuesto, que satisfacemos las condiciones del Principio de Acotamiento Uniforme, que da, \begin{align} \sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}|=\bigg|\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}\bigg|<\infty. \end{align} Sin embargo, esto no implica que, \begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}|y_{i}|<\infty, \end{align} y de hecho no puedo extraer el resultado de esto en absoluto.
¿Alguien puede orientar sobre el problema?
