Limitación uniforme de la secuencia

Question

Dejemos que $c_{0}=\{(x_{i})_{i\geq 1} | x_{i}\in\mathbb{K}\text{ and } \lim_{i\rightarrow\infty}x_{i}=0\}$ . Supongamos que $y_{i}\in\mathbb{K}$ , $i=1,2,\ldots$ , de tal manera que $$\begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i}, \end{align}$$ converge $\forall (x_{i})_{i\geq 1}\in c_{o}$ . Utilice la limitación uniforme para demostrar que $(y_{i})_{i\geq 1}\in\ell^{1}$ . ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ )

La idea es construir una familia de operadores $(T_{n})$ tal que el resultado final por el Principio de Acotamiento Uniforme es $\sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}|<\infty\implies\sum_{i=1}^{\infty}|y_{i}|<\infty$ .

Así que intenté definir $T_{n}:=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}|$ tal que $T_{n}x=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}|x_{i}$ . Sin embargo, $$\begin{align} \sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}x|=\bigg|\sum_{i=1}^{\infty}|y_{i}|x_{i}\bigg|, \end{align}$$ no está limitado por los supuestos de la pregunta.

Así que procedí a probar $T_{n}:=\sum_{i=1}^{n}y_{i}$ tal que $T_{n}x=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}$ . En este caso, $$\begin{align} \sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}x|=\bigg|\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}x_{i}\bigg|<\infty, \end{align}$$ por la suposición, $$\begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i}<\infty. \end{align}$$ Esto implica, por supuesto, que satisfacemos las condiciones del Principio de Acotamiento Uniforme, que da, $$\begin{align} \sup_{n\in\mathbb{N}}|T_{n}|=\bigg|\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}\bigg|<\infty. \end{align}$$ Sin embargo, esto no implica que, $$\begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}|y_{i}|<\infty, \end{align}$$ y de hecho no puedo extraer el resultado de esto en absoluto.

¿Alguien puede orientar sobre el problema?

Answer 1

Dejemos que $T_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k$ . Entonces $T_n$ es una función lineal sobre $c_0$ . También $|T_nx|\leq \sum\limits_{k=1}^{n} |y_k|M$ donde $M=\sup_k|x_k|$ (la norma de $x$ en $c_0$ ). Por lo tanto, $T_n$ es una función lineal continua sobre $c_0)$ con $\|T_n\| \leq \sum\limits_{k=1}^{n} |y_k|$ . Busquemos el valor exacto de $\|T_n\|$ . Para esta toma $x_k=\frac {|y_k|} {y_k}$ si $1\leq k \leq n$ y $y_k \neq 0$ y $0$ si $1\leq k \leq n$ con $y_k=0$ . También deja que $x_k=0$ para todos $k>n$ . Entonces $\|x\|=1$ y $T_nx=\sum\limits_{k=1}^{n} |y_k|$ . Así, $\|T_n\|=\sum\limits_{k=1}^{n} |y_k|$ . La hipótesis también nos dice que $\{T_nx\}$ es una secuencia acotada para un determinado $x \in c_0$ . Ahora el Principio de Limitación Uniforme nos dice que $\|T_n\|$ es una secuencia acotada, lo que significa que $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |y_k|<\infty$ .