Probabilidad de que una línea de descendencia masculina se extinga...

Question

Una cuarta parte de las parejas de una sociedad no tiene hijos. Las otras tres cuartas partes tienen exactamente tres hijos, y cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ser niño o niña. ¿Cuál es la probabilidad de que la línea de descendencia masculina (identifiquemos esto por el "apellido") de un determinado marido se extinga?

Mi suposición es que todos los varones de la población inicial tienen apellidos diferentes. Lo tengo: La probabilidad de que un apellido sobreviva una generación es: $$0.25\cdot0+0.75(1- (1/2)^3)$$ es decir, la probabilidad de que nazca al menos un niño.

ya que el valor esperado de los niños es 7/8, cualquier línea de descendencia masculina se extinguirá...

Answer 1

Una pregunta bastante patriarcal.

El marido no tiene descendencia masculina con probabilidad $\frac14$ y $k$ descendientes masculinos con probabilidad $\frac34\cdot\frac18\cdot\binom3k$ . Así, la probabilidad de extinción $p$ satisface

$$p=\frac14+\frac3{32}\left(1+3p+3p^2+p^3\right)\;.$$

Dado que una solución de tal ecuación es siempre $p=1$ pero esta solución no se aplica aquí porque el número medio de descendientes varones es $\gt1$ podemos dividir por $p-1$ para encontrar

$$3p^2+12p-11=0$$

con soluciones $p=-2\pm\sqrt{23/3}$ . La solución en $[0,1]$ es $p=-2+\sqrt{23/3}\approx0.76887$ .