La evaluación de $\int_{0}^{\infty}(\ln \tan^2 bx)/(a^2+x^2)\ dx$

Question

Hace algún tiempo me encontré con una de las integrales, que todavía va por encima de mi mente:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln \tan^2(bx)}{a^2+x^2}dx$$ a y b son parámetros.

Yo estaría interesado en las posibles soluciones con el análisis complejo y sin ella también.

Answer 1

Si se puede probar que la integral dada converge, no es difícil calcular su valor. Vamos a suponer que a partir de ahora que la integral no convergen. Desde $\tan^2(-bx)=\tan^2(bx)$$(-a)^2=a^2$, no hay pérdida de generalidad en suponer que la $a,b>0$. Entonces $$I(a,b)=\int_0^\infty\frac{\ln\tan^2(bx)}{a^2+x^2}dx=2b\int_0^\infty\frac{\ln|\tan x|}{a^2b^2+x^2}dx=b\int_\mathbb{R}\frac{\ln|\tan x|}{a^2b^2+x^2}dx.$$ Considere la función $$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C},\ f(z)=b\frac{\ln|\bronceado z|}{a^2b^2+z^2}.$$

Dado $n \in \mathbb{N}$,$0<1/n<ab<n$, denotamos por a $\Delta_n$ la región acotada de $\mathbb{C}$ cuyo límite consiste en el segmento de $$L_n=\{ x-\frac{i}{n}:\ |x|\le n\pi\}$$ y la mitad superior del círculo $$\Gamma_n=\{\gamma_n(t)=-\frac{i}{n}+(n+\frac{1}{8})\pi e^{es}: \ 0 \le t \le \pi\}.$$

El conjunto de los polos de $f$ que se encuentran dentro de $\Delta_n$, es $P=\{iab, k\pi/2:\ |k|\le 2n\}$.

Para cada $k$ con $|k|\le 2n$, $z_k=k\pi/2$ es un polo de orden 2 con $$\text{Res}(f,z_k)=\lim_{z \to 0}\frac{d}{dz}(z^2f(z+z_k))=0,$$ y ya $$\text{Res}(f,iab)=\frac{1}{2ia}\ln\tanh(ab),$$ tenemos $$\int_{\Delta_n}f(z)dz=i2\pi\text{Res}(f,iab)=\frac{\pi}{a}\ln\tanh(ab).$$ Por lo tanto $$\int_{L_n}f(z)dz=\frac{\pi}{a}\ln\tanh(ab)-J_n$$ con $$J_n:=\frac{\pi}{a}\ln\tanh(ab)-en\pi\int_0^\pi e^{es}f((n+\frac{1}{8})\pi e^{it}-\frac{i}{n})dt.$$ Observe que $$\begin{eqnarray} |J_n|&\le&(n+\frac{1}{8})\pi\int_0^\pi|f((n+\frac{1}{8})\pi e^{it}-\frac{i}{n})|dt\cr &\le& \frac{(n+\frac{1}{8})\pi}{((n+\frac{1}{8})\pi-\frac{1}{n})^2-a^2b^2}\int_0^\pi|\ln|\tan((n+\frac{1}{8})\pi e^{it}-\frac{i}{n})||dt\cr &=&\frac{(n+\frac{1}{8})\pi}{((n+\frac{1}{8})\pi-1/n)^2-a^2b^2}\int_0^\pi\left|\ln\left|\frac{\exp(i(2n+\frac{1}{4})\pi e^{it}+\frac{2}{n})-1}{\exp(i(2n+\frac{1}{4})\pi e^{it}+\frac{2}{n})+1}\right|\right|dt\cr &\le&\frac{(n+\frac{1}{8})\pi}{((n+\frac{1}{8})\pi-\frac{1}{n})^2-a^2b^2}A_n, \end{eqnarray}$$ con $$A_n=\int_0^\pi |\ln|e^{i(2n+\frac{1}{4})\pi\cos t}e^{\frac{2}{n}-(2n+\frac{1}{4})\pi\sen t}-1|+|\ln|e^{i(2n+\frac{1}{4})\pi\cos t}e^{-(2n+\frac{1}{4})\pi\sen t+\frac{2}{n}}+1||dt.$$ $A_n$ es claramente delimitado, por lo que llegamos a la conclusión de que $J_n \to 0$$n \to \infty$, y $$I(a,b)=\lim_{n \to \infty}\int_{L_n}f(z)dz=\frac{\pi}{a}\ln\tanh(ab).$$