Números complejos - raíces de la unidad

Question

Dejemos que $\omega$ sea un número complejo tal que $\omega^5 = 1$ y $\omega \neq 1$ . Encuentre $$\frac{\omega}{1 - \omega^2} + \frac{\omega^2}{1 - \omega^4} + \frac{\omega^3}{1 - \omega} + \frac{\omega^4}{1 - \omega^3}.$$

He probado a sumar los dos primeros y los dos segundos por separado, y luego a sumar esas sumas, pero ¿cómo obtengo un valor numérico como respuesta?

Gracias

Answer 1

CONSEJO : $$\frac{\omega}{1-\omega^2}+\frac{\omega^2}{1-\omega^4}+\frac{\omega^3}{1-\omega}+\frac{\omega^4}{1-\omega^3}$$ $$=\frac{\omega}{1-\omega^2}+\frac{\omega^2}{1-\omega^4}+\frac{\omega^7}{\omega^4-\omega^5}+\frac{\omega^6}{\omega^2-\omega^5}$$

Answer 2

Una respuesta menos eficiente con un enfoque más general.

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Usted puede notar que $\{\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\}$ son las raíces de $\frac{x^5-1}{x-1}$ .
Si ponemos $Z=\{\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\}$ tenemos

$$\sum_{z\in Z}\frac{z}{1-z^2}=\sum_{z\in Z}\frac{z^3}{1-z}=\sum_{z\in Z}\frac{1}{1-z}-\sum_{z\in Z}(1+z+z^2)=-2+\sum_{z\in Z}\frac{1}{1-z}.$$ Si $z\in Z$ , $1-z$ es una raíz de $\frac{1-(1-x)^5}{x}=x^4-5x^3+10x^2-10x+5$ .
Por el teorema de Vieta se deduce que $$\sum_{z\in Z}\frac{1}{1-z} = \frac{10}{5} = 2$$ por lo tanto: $$\sum_{z\in Z}\frac{z}{1-z^2} = \color{red}{0}.$$ Pasos clave:

1. $z\mapsto z^3$ es una biyección en $Z$
2. para cualquier $k\in[1,4]$ tenemos $\sum_{z\in Z}z^k = -1$ .

Answer 3

La suma de los términos primero y cuarto es $$\begin{align*} \frac{\omega}{1 - \omega^2} + \frac{\omega^4}{1 - \omega^3} &= \frac{\omega (1 - \omega^3) + \omega^4 (1 - \omega^2)}{(1 - \omega^2)(1 - \omega^3)} \\ &= \frac{\omega - \omega^4 + \omega^4 - \omega^6}{(1 - \omega^2)(1 - \omega^3)} \\ &= \frac{\omega - \omega^4 + \omega^4 - \omega}{(1 - \omega^2)(1 - \omega^3)} \\ &= 0, \end{align*}$$ y la suma de los términos segundo y tercero es $$\begin{align*} \frac{\omega^2}{1 - \omega^4} + \frac{\omega^3}{1 - \omega} &= \frac{\omega^2 (1 - \omega) + \omega^3 (1 - \omega^4)}{(1 - \omega^4)(1 - \omega)} \\ &= \frac{\omega^2 - \omega^3 + \omega^3 - \omega^7}{(1 - \omega^4)(1 - \omega)} \\ &= \frac{\omega^2 - \omega^3 + \omega^3 - \omega^2}{(1 - \omega^4)(1 - \omega)} \\ &= 0. \end{align*}$$ Por lo tanto, la suma de los cuatro términos es $\boxed{0}$ .

Answer 4

Quizás más directo $$\frac{\omega}{1 - \omega^2} + \frac{\omega^2}{1 - \omega^4} + \frac{\omega^3}{1 - \omega} + \frac{\omega^4}{1 - \omega^3} = \frac{\omega}{1 - \omega^2} + \frac{\omega^2}{1 - \omega^{-1}} + \frac{\omega^{3}}{1 - \omega} + \frac{\omega^{-1}}{1 - \omega^{-2}}$$