Estoy tratando de entender por qué en un anillo elegimos los nombres unidad a un elemento invertible y elemento irreducible en esta definición
¿Tal vez por razones históricas?
Por ejemplo, supongo que la segunda definición se denomina elementos primos por la analogía con los números primos.
Gracias de antemano.
En primer lugar, unidades se comportan "como $1$ ", lo que explica su nombre.
Históricamente, los números primos se definían más bien como lo que aquí se llama irreducible. Y para los números enteros, "irreducible" y "primo" coinciden. Así que para la teoría general de anillos, donde sí no coinciden en general, había que acuñar al menos un nuevo nombre. Como irreducible se estableció para (el anillo de) polinomios y esto se ajusta bien a la noción de que estos elementos no pueden ser (no trivialmente) divididos en varios factores, el nombre prime podría utilizarse para la otra noción. (Como alternativa, habría que acuñar un nombre para los números de si-divide-un-producto-divide-un-factor)
Por ejemplo, en $\Bbb Z$ las unidades son $\pm 1$ y los primos e irreducibles coinciden. Además, tiene factorización única y único significa aquí "hasta una unidad", por ejemplo $-10=(-1)\cdot 2\cdot 5$ pero $-1$ no cuenta aquí, ya que es sólo una unidad. Entre los enteros gaussianos, $\Bbb Z[i]$ también $\pm i$ son unidades.
Es fácil ver que si $u$ es una unidad (invertible), entonces para cualquier elemento $a$ el generador ideales $(a)$ y $(ua)$ coinciden.
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