¿Cuál es la relación entre las funciones de correlación estadística y de QFT?

Question

Estoy estudiando la mecánica estadística, en particular la función de correlación:

https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_function_(statistical_mechanics)

y lo he entendido. Ahora buscando en internet he encontrado esto:

https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_function_(teoría_del_campo_cuántico)

No conozco la teoría cuántica de campos y me preguntaba cuál era el vínculo entre ambas funciones. Por ejemplo por qué la función de correlación en la teoría cuántica de campos se define como $ \langle \phi_1,\phi_2,\dots,\phi_n \rangle $ y no $ \langle \phi_1,\phi_2,\dots,\phi_n \rangle - \langle \phi_1 \rangle \cdots \langle \phi_n \rangle $ como en la mecánica estadística.

Answer 1

El "enlace" proviene del formulación de la integral de la trayectoria de la mecánica cuántica.

Hay un cierto diccionario que mapea cantidades de la formulación canónica a integrales de trayectoria que se parecen mucho a las funciones de correlación de la mecánica estadística. En concreto, supongamos que $\varphi_1, \dots, \varphi_n$ son $n$ valores de ciertos observables físicos que corresponden a cantidades medidas en tiempos $t_1 > \dots > t_n$ .

Una amplitud de transición cuántica viene dada por

$$ \left< 0 \right| \hat{\varphi}_1 \dots \hat{\varphi}_n \left| 0 \right>, $$

donde $\left| 0 \right>$ es el estado de vacío del sistema cuántico, y las cantidades con "sombrero" representan cuantizaciones de observables físicos (operadores lineales que actúan en el espacio de Hilbert).

Codifica una determinada propiedad probabilística de los sistemas cuánticos. Por ejemplo, para $n = 2$ su valor absoluto al cuadrado codifica la densidad de probabilidad de una transición entre dos estados cuánticos.

En el otro lado de la correspondencia está la integral de trayectoria

$$ \int Dx e^{i \hbar^{-1} S[x]} \varphi_1[x] \dots \varphi_n[x], $$

donde todas las cantidades son sólo números. La expresión

$$ \rho[x] = e^{i \hbar^{-1} S[x]} $$

puede considerarse como la función de densidad de probabilidad definida en el espacio de todas las trayectorias. Sin embargo, la similitud es sólo formal: a diferencia de las densidades de probabilidad, es de valor complejo y, en general, está mal definida sin procedimientos delicados llamados renormalizaciones.

Este vínculo puede precisarse para la QFT de Wightman y la mecánica estadística con los axiomas de Osterwalder-Schrader. Sin embargo, la mayoría absoluta de los modelos de QFT realistas se basan en la teoría gauge, para la que no se conoce ninguna axiomatización, por lo que el vínculo sigue siendo sólo una vaga conjetura.

En realidad, hacer esto preciso para las teorías gauge está relacionado con uno de los problemas del premio del milenio .