¿Cómo puedo encontrar un valor entero para que una expresión no es primo?

Question

Acabo de empezar Robert S. Wolf, la Prueba, la Lógica y la Conjetura. Al final del primer capítulo hay algunos ejercicios para entrar en calor para la prueba de técnicas que eventualmente introducir. Sólo digo esto para que ustedes son conscientes de que todavía tengo que encontrar la prueba formal de las técnicas.

La primera parte de la pregunta simplemente le pide que sustituya los valores pequeños de a $n$ en la expresión de $n^2-n+41$ y para probar si estos valores son los principales. Yo hice esto por $n=1$$12$, y todos los valores que parecían prime. Esto me lleva a la segunda parte de la pregunta donde estoy atascado.

Voy a parafrasear la pregunta:

(1)(b) Encontrar un valor entero positivo de $n$ para el cual la expresión de $n^2-n+41$ no es un número primo.

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Mi intento

Voy a descomponer la expresión $n^2-n+41$ en numérico y simbólico de las piezas decir $n^2-n$$41$, con el fin de obtener una mejor comprensión de la misma.

La parte simbólica de la expresión $n^2-n$ puede ser factorised a $n(n-1)$. A partir de esto es evidente que esta parte de la expresión sólo va a volver jamás, incluso, los valores, ya que siempre será de la forma donde tenemos un número impar se multiplica por un número par. Por ejemplo: para $n=5$, un número impar, tenemos $5(5-1)=5(4)=20$; lo mismo para $n=4$, un número, tenemos $4(4-1)=4(3)=12$.

La adición de un número impar y el número devuelve un número impar, por lo tanto la adición de $41$ (un número impar) a $n^2-n$ (una expresión que devuelve siempre un número par) le dará un número impar para todos los valores enteros de a $n$.

Como $n^2-n+41$ siempre devuelve los números impares, entonces es lógico que si vamos a encontrar cualquier non-prime el valor de esta expresión también será impar.

La única forma en que podía pensar en hacer esto fue por la definición de los números impares como $2n+1$, (donde $2n$ es un número y $n$ es un número entero) e igualando esto a la expresión en la esperanza de que la intersección devolvería valores que son impares y no prime, sin embargo no es el caso que esta equivalencia devuelve un valor entero de $n$ para que esta expresión no es primo.

Donde he ido mal?

Answer 1

Cómo acerca de $n=41$?

En general, si usted elige $n$, de modo que todos los términos en una suma son divisibles por un mismo número, el total de la suma es divisible por dicho número.

Edit: Mi entendimiento es que su enfoque era el de establecer $n^2-n+41 = 2n+1$ y buscar entero de soluciones. Pero esto es muy fuerte condición: que estás diciendo no sólo que $n^2-n+41$ es extraño, pero que es el particular número impar $2n+1$. Esta es una ecuación cuadrática en $n$, por lo que tiene en la mayoría de las $2$ soluciones - no es particularmente sorprendente que no han entero de soluciones.

Pero para cualquier valor entero de $n$, $n^2-n+41$ es impar. Si usted sólo quiere expresar que $n^2-n+41$ es impar, la ecuación es $n^2 -n +41 = 2k+1$. Esta ecuación tiene exactamente un número entero de solución para cada valor de $n$: un ejemplo es el $n = 41$, $k = 840$.

Answer 2

A pesar de $n = 41$ es una solución obvia, su pregunta 1 (b) es, en realidad, ser capaz de encontrar para los que $n$, la expresión dada no es primo. (Aunque pide 'entero', trataremos de hacer una generalización para encontrar todos los números enteros).

Un enfoque podría ser escribir como $n^2 - (n - 41)$. Si realizamos $(n - 41)$ un cuadrado, entonces, obviamente, la expresión dada factorizes.

Por lo $\color{blue}{n = 41, 42, 45, 50, 57}$ y así sucesivamente , son valores de $n$ para el que la expresión no es primo. Creo que Alex ha contestado el resto.

Answer 3

Aquí hay otra solución simple.

Queremos encontrar algunos $n$ que $n^2 - n + 41$ no es primo. Obviamente n = $41$ es una solución trivial como se ha señalado por parte de Alex.

Para $n = 41k$ donde $k \in {\mathbb N}$, la expresión dada se tiene $41$ como un factor. Este caso no está incluido en mi respuesta anterior, aunque se solapa en algunos puntos (por ejemplo, cuando $n = 41\cdot42$).

Una respuesta es un lugar para hacer una pregunta, pero sería interesante conocer todos los $n$ que $n^2 - n + 41$ (El Polinomio de Euler) es primo.

Answer 4

Buscar uno.

Si usted quiere encontrar un número con una cierta propiedad, y la propiedad es relativamente fácil de comprobar, que a menudo es una buena idea tratar un montón de números, de forma sistemática o aleatoria. Usted podría tener suerte!

Este enfoque suena estúpido, pero es una de las técnicas más poderosas en matemáticas, y es llevado a algunos realmente grandes resultados.

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Por ejemplo, como $p$ varía con los números primos, el primer par de valores de $2^p - 1$ 3, 7 y 31-todos los números primos. La gente quería saber si hay un primer $p$ que $2^p - 1$ es compuesto, por lo que buscaban. En 1536, alguien llamado Hudalricus Regius (Ulrich Rieger, en alemán) logró con $p = 11$. Durante los próximos siglos, algunos de los más grandes matemáticos de la Tierra-incluyendo a Pierre de Fermat, Leonhard Euler, y François Lucas-se unió a un ridículo-en busca de un desfile de personas de conectar más grande y más grande de los números primos $p$ y trabajar si $2^p - 1$, fue el primer. Fermat trabajo, parte de una mayor búsqueda para aprender acerca de la perfecta números, condujo a un resultado importante: Fermat poco teorema. Lucas trabajo llevó a la menos fundamental, pero todavía fascinante de Lucas-Lehmer prueba, una prueba de primalidad que funciona solamente en los números de la forma $2^p - 1$ ($p$ prime).

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He aquí otro ejemplo. La Riemann zeta función tiene un montón de predicción ceros (el negativo, incluso los números), y un montón de absolutamente imprevisible. El primer par de ceros son impredecibles $$0.5 + i\;14.134\ldots,\quad 0.5 + i\;21.022\ldots,\quad 0.5 + i\;25.010\ldots.$$ La gente quiere saber si hay un cero de la función zeta cuya parte real no es de 0,5, por lo que están buscando uno. A partir de la década de 1970 a través de la década de 1990, un matemático llamado Andrew Odlyzko usan supercomputadoras para comprobar trillones de ceros. Él no encontrar ninguno con real otras partes de 0.5, pero él logró encontrar evidencia sustancial para una conjetura que sugiere conexiones profundas entre la Riemann zeta función y las matemáticas de la mecánica cuántica.

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Sofisticado razonamiento es a veces la mejor manera de encontrar un número, pero nunca se debe subestimar el poder de las viejas buscando. En su caso, de una mano de búsqueda es bastante factible. En un típico lenguaje de programación moderno, un equipo de búsqueda toma unos minutos para escribir, y milisegundos a ejecutar. Estoy bastante seguro de que era la primera cosa Lobo espera que usted intente.