"La longitud de una curva es la longitud de los segmentos poligonales: $\sum_{i=1}^{n} |r(t)_{i}-r(t)_{i-1}| = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{|r(t)_{i}-r(t)_{i-1}|}{\Delta t} \Delta t = \sum_{i=1}^{n} |r'(t_{i})| \Delta t$ ."
¿Por qué $|r(t)_{i}-r(t)_{i-1}| \neq \dfrac{|r(t)_{i}-r(t)_{i-1}|}{\Delta t} \Delta t = r'(t) \Delta t$ ?
Por ejemplo, en la curva $r(t)=\langle t,t^{2} \rangle$ Calculo que la derivada es $r'(t) = \langle 1,2t \rangle$ así que en el intervalo $[0,2]$ cuando elijo $n = 2, \Delta t = 1$ el valor $|(1,1)-(0,0)|= |\langle 1,1 \rangle| = \sqrt{2}$ no es igual a $|r'(1)|\Delta t = \sqrt{5}$ o $|r'(0)|\Delta t = 1$ .
