División en un campo finito, $1/2$ en $\mathbb{Z}_5$ es $3$

Question

Estaba viendo mi clase de matemáticas para un curso y estábamos haciendo matrices inversas en campos finitos en $\mathbb{Z}_5$ . El determinante fue $1 / (6-4)$ así que $1/2$ lo que aparentemente significa que es 3. No tengo ni idea de dónde viene el 3, es $1$ en $2$ lo mismo que la división o significa otra cosa?

Soy totalmente nuevo en los campos y tengo un conocimiento muy limitado sobre ellos, pero mis búsquedas nunca revelaron nada sobre la división o lo que esto sería para el determinante.

Answer 1

Tenga en cuenta que $2\cdot 3=6=5+1\equiv 1\pmod{5}$ . Esto significa que en el anillo $\mathbb{Z}_5$ el elemento $2$ es invertible y el inversa de $2$ (lo que se llama $1/2$ ), es $3$ .

Answer 2

La división es definido de la misma manera en la aritmética modular que en la recta numérica regular. En otras palabras, $\frac12$ es el único número tal que $2\cdot \frac12 = 1$ . Sin embargo, como la aritmética modular funciona de forma diferente a la aritmética regular, el interpretación de la definición anterior es muy diferente: Tenemos $2\cdot 3 = 1$ lo que significa que $3$ en realidad cumple con la propiedad definitoria de $\frac12$ . También podemos comprobar fácilmente que no existen otros números de este tipo, por lo que es único. Por eso $\frac12 = 3$ .

Nota para más adelante: Si alguna vez tienes que resolver ecuaciones cuadráticas en aritmética modular (al menos mientras sea módulo de un primo impar), la fórmula $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ sigue funcionando, excepto que, una vez más, el definición de $\sqrt{{}\cdot{}}$ es el mismo (más o menos; no hay nada como positivo / negativo para distinguir las dos raíces cuadradas de un número), pero el interpretación es diferente, con, por ejemplo, $\sqrt{-1} = \pm 2$ modulo $5$ .