¿Cómo puedo encontrar $h(y)$ ?

Question

Dada la siguiente función $$ f(t) = \begin{cases} t &\text{for }t\leq2\,,\\ 2 &\text{for } t\geq 2\,,\\ \end{cases} $$ y $$h'(y)=f(y)\,,$$ cómo puedo encontrar $h(y)$ ?

Answer 1

Una antiderivada no es única. Así que $c=h(0)$ da $$h(y)-h(0)=\int_0^yf(t)dt=\int_0^ytdt =y^2/2$$ para $y\le 2$ Así que $$h(y)=y^2/2+c$$ cuando $y\le 2$ . Pero si $y>2$ , $$h(y)-h(2)=\int_2^yf(t)dt=\int_2^y2dt=2(y-2).$$ Id est, $$h(y)=h(2)+2t-4=(2^2/2+c)+2y-4=2y-2+c$$ cuando $y>2$ . (Debería comprobar, por ejemplo, que $h$ es diferenciable, y lo es).