2 votos

Puede $i$ definirse como una raíz cuadrada de $-1$ ?

Todos, por definición, sabemos que $ i^2 = -1 $ pero, ¿implica eso (o es incluso equivalente) que $\sqrt{-1} = \pm i$ ? A menudo veo debates en Internet en los que la gente discute sobre esta última igualdad, la mayoría de la gente argumentando que la operación de raíz cuadrada sólo está definida para los números positivos.

No estoy familiarizado con las matemáticas, así que para mí, ambas ecuaciones son equivalentes, si no es así, podría alguien explicar en fácil ¿términos?

1voto

Fox Puntos 139

Creo que el definición habitual de $\sqrt{-1}$ (o más generalmente $\sqrt{z}$ , donde $z$ es algún número) es un número $y$ cuyo cuadrado es $-1$ (o cuyo cuadrado es $z$ ). Esto es intrínsecamente ambiguo, ya que todo número complejo no nulo $z$ tiene dos números distintos $y$ cuyo cuadrado es $z$ . Cuando $z$ es un número real positivo, normalmente cuando la gente escribe $\sqrt{z}$ , significarán el único positivo raíz cuadrada.

Esto lleva naturalmente a la pregunta de cómo se puede dar sentido a los números complejos en primer lugar. Tendrías que resolver dificultades como que si tienes raíces cuadradas de números negativos y positivos, ¿tiene realmente sentido sumarlos, dividirlos, etc.? En otras palabras, supongamos que nos sentimos cómodos con el campo de los números reales, y queremos incrustar $\mathbb{R}$ en un campo más amplio en el que $-1$ tiene una raíz cuadrada. Si estás familiarizado con el álgebra abstracta, puedes construir el campo de los números complejos, y con ello las raíces cuadradas de $-1$ de la siguiente manera:

Dejemos que $f(X) = X^2 + 1 \in \mathbb{R}[X]$ y que $\mathfrak m$ sea el ideal de $\mathbb{R}[X]$ generado por $(X^2 + 1)$ . Desde $f(X)$ es irreducible en $\mathbb{R}[X]$ , $\mathbb{R}[X]/\mathfrak m$ es un campo. Se puede definir el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$ para ser el campo $\mathbb{R}[X]/\mathfrak m$ .

En $\mathbb{C}$ (como lo he definido aquí), el elemento (coset) $X + \mathfrak m$ será lo que usted considere como el número $i$ . De hecho, $\mathbb{C}$ es un campo que contiene $\mathbb{R}$ (formalmente, en lugar de cada número real $y$ , usted escribe $y + \mathfrak m$ ), y aquí si se multiplica $X + \mathfrak m$ por sí mismo, se obtiene $(X+\mathfrak m)^2 = X^2 + \mathfrak m = -1 + \mathfrak m$ y $-1 + \mathfrak m$ es ahora lo que se considera como el número $-1$ .

Si no estás familiarizado con el álgebra abstracta, puedes sustituir esta construcción de $\mathbb{C}$ con una construcción bastante idéntica: definir $\mathbb{C}$ para ser el plano $\mathbb{R}^2$ con ciertas operaciones de suma y multiplicación. Esta es una construcción bien conocida, se puede encontrar en cualquier buen libro de texto de cálculo.

1voto

William Chen Puntos 5712

No existe una definición canónica de $i$ . Supongamos que se fija una definición, tal que $i^2 = -1$ entonces también tenemos $$(-i)^2 = (-1)^2i^2 = 1\cdot -1 = -1$$ Así, en cualquier sistema algebraico razonable de característica no 2, (en particular, en cualquier campo de característica no 2), si hay un solo elemento cuyo cuadrado es $-1$ entonces también debe haber otro, y no hay forma matemática de distinguirlos. Esto es distinto a lo que ocurre con los números reales positivos, ya que aunque haya dos raíces cuadradas de 2, sólo una de ellas es positivo . Así, podemos definir $\sqrt{2}$ para ser el positivo número cuyo cuadrado es 2.

Tu pregunta es filosófica. Usted tiene un símbolo $i$ y quieres asociarlo a algo que no existe ( $\sqrt{-1}$ no está definido a priori). ¿Cómo se puede hacer esto? Bueno, no se puede, pero la forma en que la gente suele abordar esto es no definir $i$ . Simplemente se utiliza como un símbolo, que puede ser sumado y multiplicado por otros números y por sí mismo, satisfaciendo la relación $i^2 = -1$ .

Entonces, se definen los números complejos como el conjunto de sumas formales $a+bi$ , donde $a,b\in\mathbb{R}$ y $i^2 = -1$ . (Formal en el sentido de que estas sumas no se encuentran a priori en ningún sistema algebraico, no tienen ningún "significado" a priori, ya que después de todo $i$ no está definido).

Sin embargo, utilizando las reglas típicas para sumar/restar/multiplicar/dividir, es fácil ver que se pueden sumar y restar dos sumas cualesquiera para obtener otra suma semejante: $$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$$ Utilizando la relación que $i^2 = -1$ También se pueden multiplicar estas sumas: $$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$$ También puede dividir cualquier $a+bi$ por cualquier $c+di\ne 0$ de la siguiente manera: $$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc - ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$ Al hacer todo esto, hemos demostrado esencialmente que este conjunto $\{a+bi : a,b\in\mathbb{R}\}$ forma lo que se llama un "campo". Sin embargo, todavía no hemos definido realmente $i$ (es decir, no lo hemos asociado a nada que ya conozcamos. Simplemente llamamos a $i$ a la existencia, y decretó que satisfaga ciertas propiedades, entre ellas $i^2 = -1$ ). Sin embargo, al hacer esto, hemos dado implícitamente $i$ un significado - en este conjunto de sumas formales $\{a+bi : a,b\in\mathbb{R}\}$ , $i$ es simplemente mismo ¡!

Por último, en un lenguaje más avanzado, se puede definir:

$$\mathbb{C} := \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$$ Donde el lado derecho es el cociente del anillo polinómico $\mathbb{R}[x]$ por el ideal principal generado por $x^2+1$ . En esta situación, podemos identificar $i$ con la imagen de $x$ en este anillo, aunque estaría igual de bien identificar $i$ con (la imagen de) $-x$ .

1voto

lesnik Puntos 416

No, $i$ NO puede definirse como raíz cuadrada de -1. Sería una definición muy pobre. ¿Raíz cuadrada? ¿De un número negativo? ¿Qué es? ¿Cuántas raíces diferentes hay? ¿Sólo una? ¿O pueden ser dos? ¿Pueden ser más de dos? ¿Por qué no es cero entonces?

(Nota: existen los cuaterniones - sistema numérico bastante útil que se asemeja a los números complejos, pero hay tres diferentes " $i$ 's": $i, j$ y $k$ .)

La definición correcta va al revés. Primero define los "Números Complejos": no son números, sino algunos objetos (pares de números reales, o vectores o matrices especiales), que las operaciones (+, -, *, /. ¡Y así sucesivamente!) en estos objetos. Queda claro que estos objetos "extienden" los números reales habituales: algún subconjunto del conjunto de los números complejos se comporta exactamente como el conjunto de los números reales. Y existe un número complejo con una propiedad muy especial: su cuadrado es igual a -1 (corrección: es igual a un número complejo que corresponde a un número real -1). Pues bien, existen dos, y a uno de ellos lo llamamos $i$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X