No existe una definición canónica de $i$ . Supongamos que se fija una definición, tal que $i^2 = -1$ entonces también tenemos $$(-i)^2 = (-1)^2i^2 = 1\cdot -1 = -1$$ Así, en cualquier sistema algebraico razonable de característica no 2, (en particular, en cualquier campo de característica no 2), si hay un solo elemento cuyo cuadrado es $-1$ entonces también debe haber otro, y no hay forma matemática de distinguirlos. Esto es distinto a lo que ocurre con los números reales positivos, ya que aunque haya dos raíces cuadradas de 2, sólo una de ellas es positivo . Así, podemos definir $\sqrt{2}$ para ser el positivo número cuyo cuadrado es 2.
Tu pregunta es filosófica. Usted tiene un símbolo $i$ y quieres asociarlo a algo que no existe ( $\sqrt{-1}$ no está definido a priori). ¿Cómo se puede hacer esto? Bueno, no se puede, pero la forma en que la gente suele abordar esto es no definir $i$ . Simplemente se utiliza como un símbolo, que puede ser sumado y multiplicado por otros números y por sí mismo, satisfaciendo la relación $i^2 = -1$ .
Entonces, se definen los números complejos como el conjunto de sumas formales $a+bi$ , donde $a,b\in\mathbb{R}$ y $i^2 = -1$ . (Formal en el sentido de que estas sumas no se encuentran a priori en ningún sistema algebraico, no tienen ningún "significado" a priori, ya que después de todo $i$ no está definido).
Sin embargo, utilizando las reglas típicas para sumar/restar/multiplicar/dividir, es fácil ver que se pueden sumar y restar dos sumas cualesquiera para obtener otra suma semejante: $$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$$ Utilizando la relación que $i^2 = -1$ También se pueden multiplicar estas sumas: $$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$$ También puede dividir cualquier $a+bi$ por cualquier $c+di\ne 0$ de la siguiente manera: $$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc - ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$ Al hacer todo esto, hemos demostrado esencialmente que este conjunto $\{a+bi : a,b\in\mathbb{R}\}$ forma lo que se llama un "campo". Sin embargo, todavía no hemos definido realmente $i$ (es decir, no lo hemos asociado a nada que ya conozcamos. Simplemente llamamos a $i$ a la existencia, y decretó que satisfaga ciertas propiedades, entre ellas $i^2 = -1$ ). Sin embargo, al hacer esto, hemos dado implícitamente $i$ un significado - en este conjunto de sumas formales $\{a+bi : a,b\in\mathbb{R}\}$ , $i$ es simplemente mismo ¡!
Por último, en un lenguaje más avanzado, se puede definir:
$$\mathbb{C} := \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$$ Donde el lado derecho es el cociente del anillo polinómico $\mathbb{R}[x]$ por el ideal principal generado por $x^2+1$ . En esta situación, podemos identificar $i$ con la imagen de $x$ en este anillo, aunque estaría igual de bien identificar $i$ con (la imagen de) $-x$ .