Convergencia uniforme de $f_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ al calcular el límite

Question

Calcular $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \left(1 + \frac{x}{n}\right)^ndx $$

Mi intento - si $$ f_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n $$ convergen uniformemente para todos los $x \in [0,1]$ entonces podría cambiar la integral por las limas y solucionarlo: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \left(1 + \frac{x}{n}\right)^ndx = \int_0^1 \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^ndx = \int_0^1 e^x dx = e^x|_{0}^{1} = e - 1 $$

Entonces debo demostrar que $f_n(x)$ es de hecho uniformemente convergente. Ya sé que $f_n(x) \rightarrow e^x$ . Si $f_n(x)$ converge uniformemente, entonces para cada epsilon debe cumplirse la siguiente afirmación $$ \sup_{x \in [0,1]} \left|f_n(x) - f(x)\right| < \epsilon $$

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Enfoque alternativo (sin convergencia uniforme): dejar que $t= \frac{x}{n}$ entonces $$\begin{align*}\int_0^1 \left(1 + \frac{x}{n}\right)^ndx&= n\int_0^{1/n} (1+t)^ndt\\ &=n\left[\frac{(1+t)^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/n} \\&= \frac{n}{n+1}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-1\right)\\&\to e-1. \end{align*}$$

Answer 2

Puedes usar el teorema de Dini.

En un compacto set $K$ si una secuencia de funciones continuas $\langle f_n(x) \rangle$

$a)$ es monótona en $n$ para cada $x \in K$

$b)$ converge puntualmente a una función continua de $x \in K$

entonces la convergencia es uniforme.

Answer 3

Para mostrar la convergencia uniforme, basta con estimar el término de error:

Tenga en cuenta que $$ n\log(1+x/n)=x-\frac1{2n}x^2+\frac1{3n^2}x^3-\dots $$ es una serie alterna con cada término de menor magnitud (ya que $x\in[0,1]$ ), por lo que $$ \lvert x-n\log(1+x/n)\rvert\leq\frac1{2n}x^2 $$

Así que para todos $x\in[0,1]$ tenemos \begin{align*} 0&\leq e^x-\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\\ &=e^x-e^{n\log(1+x/n)}\\ &\leq\lvert x-n\log(1+x/n)\rvert\cdot\sup\{e^\xi\mid n\log(1+x/n)\leq\xi\leq x\} &&\text{(MVT)}\\ &\leq \frac{x^2}{2n}e^x\leq\frac{e}{2n} \end{align*} Así que la convergencia es uniforme.

Answer 4

Si $t_n(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ entonces, ampliando $t_n,$

$t_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\times \cdots \times \left(1-\frac{n-1}{n}\right)$

señalando que $0\le x\le 1,$ y comparando esto con $s_n=\sum^n_{k=0}\frac{1}{k!}$ tenemos $t_n(x)\le s_n\le \limsup s_n=e$ por lo que el resultado se deduce por el teorema de convergencia dominada.

Answer 5

La convergencia uniforme se desprende de dos ejercicios:

1. Para $x\in [0,1],$ $n\ln(1+x/n) - x\to 0$ uniformemente en $[0,1].$

2. Si $f_n\to f$ de forma unitaria en un plató $E,$ y $f$ está acotado, entonces $e^{f_n}\to e^f$ uniformemente en $E.$

Para demostrar 1., reescribe la expresión como

$$x\left (\frac{\ln(1+x/n)-\ln(1)}{x/n}-1\right )$$

y utilizar el hecho de que $\ln'(1)=1.$ Para la prueba de 2., observe $|e^{f_n}- e^f| = e^f|e^{f_n-f}-1|.$