derivada de una función dada como una integral con núcleo

Question

Si la función $f(u)(x)$ se da como $f(u) = \int_{\Gamma} g(x,y) u(y) dy$ ¿Cuál es la derivada? $df/du$ ?

Answer 1

El derivado Gâteaux de $f$ en $u$ a lo largo de $v$ es $$ Df_u(v) = f(v). $$ Obsérvese que la derivada no depende de $u$ . Por lo tanto, también es la derivada de Fréchet de $f$ . Nótese que estamos asumiendo implícitamente que el núcleo $g$ es para que $f$ es un mapa lineal acotado entre los espacios de funciones relevantes que te interesan.