Independencia lineal sobre $\Bbb Z$ para demostrar un problema de álgebra abstracta

Question

Demuestre que existe un subgrupo de $\Bbb R$ que es isomorfo a $\Bbb \times \Bbb$ .

Se me pide que considere "la independencia lineal sobre $\Bbb Z$ " en este problema, pero no tengo ni idea de lo que significa. Lo que pensaba era que tenía que encontrar un homomorfismo $\eta: \Bbb Z \times \Bbb Z \to \Bbb R$ para lo cual $\ker(\eta)=0$ para que $\Bbb Z \times \Bbb Z /\ker(\eta) \cong \Bbb Z \times \Bbb Z \cong \text{Im}(\eta)$ .

Aparentemente este tipo de homomorfismo puede ser fonud usando la "independencia lineal sobre $\Bbb Z$ ". ¿Podría explicarme qué significa esto en la práctica?

Answer 1

Obsérvese que, por ejemplo, los números reales $1$ y $\sqrt{2}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Z}$ en el sentido de que no existen $c_1,c_2 \in \mathbb{Z}$ , ambos no nulos, tal que $c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot \sqrt{2} = 0$ (porque $\sqrt{2}$ es irracional). Este es un uso estándar del término 'linealmente independiente', aunque por supuesto no se puede tener un espacio vectorial en $\mathbb{Z}$ pero la analogía con la independencia lineal en los espacios vectoriales es evidente.

De todos modos, esto significa precisamente que el homomorfismo $(m,n) \mapsto m + n\sqrt{2}$ tiene un núcleo cero, que es lo que necesitas.

Answer 2

Independencia lineal sobre $\mathbb{Z}$ es realmente lo mismo que la independencia lineal sobre $\mathbb{Q}$ al menos en este contexto: dejemos que $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ y supongamos que $m\alpha + n\beta = 0$ para algunos enteros $m,n$ implica $m=n=0$ lo que significa que tenemos independencia lineal sobre $\mathbb{Z}$ . Supongamos que a continuación $x\alpha + y\beta = 0$ para algunos racionales $x,y$ : entonces podemos multiplicar por un denominador común $d$ tal que $dx,dy$ son números enteros, y se obtiene $dx \alpha + dy \beta = 0$ , lo que implica $dx=dy=0$ por la asunción de $\mathbb{Z}$ -independencia lineal, y por lo tanto $x=y=0$ . (La inversa es trivial).

Así que la pregunta es: ¿qué significa para las imágenes $\eta((1,0))$ y $\eta((0,1))$ para ser $\mathbb{Q}$ -¿independiente linealmente? Pista: tiene que ver con la irracionalidad.

Answer 3

Bien, veamos la estructura de los homomorfismos (en cierto sentido son como las transformaciones lineales)

(ver eso: $<a, 0> = \sum_{n=1}^{a} <1, 0>$ )

$$(<a,b>) = (<a,0>) + (<0,b>) = (\sum_{n=1}^{a}<1,0> )+ (\sum_{n=1}^{b}<0,1> )$$ $$=\sum_{n=1}^{a} (<1,0>) + \sum_{n=1}^{b} (<0,1>)$$ $$= a*(<1,0>) + b*(<0,1>)$$

digamos (<1,0>) = $c_1$ y (<0,1>) = $c_2$ ( $c_1,c_2 \in$ )

Así que sabemos $(<a,b>) = a c_1 + b c_2$ (Obsérvese que se trata de una combinación lineal, incluso se puede intentar describirla como una matriz)

Ahora bien, para que dicho homomorfismo tenga un núcleo (bueno uno que no sea el grupo trivial) $$ac_1 + bc_2 = 0$$ $$ac_1 = -bc_2$$ $$c_1 = \frac{-b}{a}c_2$$ esto nos muestra que $c_1,c_2$ pueden hacerse a partir de múltiplos racionales entre sí (son, en cierto sentido, linealmente dependientes)

Ahora bien, si elegimos $c_1, c_2$ tales que no sean múltiplos racionales entre sí (en ese sentido linealmente independientes) entonces no existirá ningún núcleo.

Esto es bastante fácil ya que un número irracional ( $c_1$ ) no puede ser un múltiplo racional de un número racional ( $c_2$ )

por lo que si $c_1 \not \in \mathbb{Q}, c_2 \in \mathbb{Q}$

entonces $(<a,b>) = ac_1 + bc_2$ ( $a, b \in \mathbb{Z}$ ) tendrá $\ker() = \{0\}$

Esta idea de la independencia lineal y de los espacios vectoriales con los números reales (y con cualquier otro campo) es una idea central de las extensiones de campo y merece mucho la pena estudiarla.

Un buen paso siguiente es generalizar para $:\mathbb{Z}^{n}\mathbb{R}$ lo que nos lleva a una idea muy importante sobre una cierta idea superior de que los números son linealmente dependientes (Piensa en la diferencia entre $\sqrt{2}$ y $\pi$ ).

Espero haber podido ayudar a algunos.