Matemáticamente...
Cuando decimos que $\mathrm{div}\left(\hat r/r^2\right) = \delta^3(\vec r)$ Lo que nos media es que
- $\mathrm{div}\left(\hat r/r^2\right)=0$ para todos los puntos en los que $\hat r/r^2$ se define, y
- Para cualquier superficie lisa $\Sigma$ encerrando el origen, tenemos que $$\oint_\Sigma \frac{\hat r}{r^2} \cdot \hat n \ \mathrm dS = 1$$
Si un dominio $U\subseteq \mathbb R^3$ es en forma de estrella , entonces para cualquier $\vec F$ definido en $U$ tenemos que $\mathrm{div}(\vec F) = 0 \implies \vec F = \mathrm{curl}(\vec A)$ para algún campo vectorial $\vec A$ - esta es una versión del lema de Poincare. Si integramos $\mathrm{curl}(\vec A)$ sobre una superficie lisa $\Sigma$ entonces
$$\int_\Sigma \mathrm{curl}(\vec A)\cdot \hat n \mathrm dS = \oint_{\partial \Sigma} \vec A \cdot \mathrm d\vec r$$ mediante el teorema de Stokes, donde $\partial \Sigma$ es el límite de $\Sigma$ . En particular, si $\Sigma$ es una superficie cerrada sin límites, entonces $\partial \Sigma = \emptyset$ y así $$\oint_{\partial \Sigma} \vec A \cdot d\vec r = \int_\Sigma \vec F \cdot \hat n \mathrm dS = 0$$
En resumen, si $U\subseteq \mathbb R^3$ tiene forma de estrella y $\vec F$ es un campo vectorial definido en $U$ entonces $$\mathrm{div}(\vec F) = 0 \implies \oint_\Sigma \vec F \cdot \hat n \mathrm dS = 0$$ para cualquier superficie lisa y cerrada $\Sigma \subset U$ . La razón por la que los puntos (1) y (2) anteriores pueden coexistir es que si eliminamos un solo punto de $\mathbb R^3$ ya no tiene forma de estrella, y el lema de Poincare ya no se aplica.
Si nos fijamos en curl en lugar de div, nos encontramos inmediatamente con un problema. ¿Qué es lo que $\mathrm{curl}(\vec F) = \delta^3(\mathbf r)\hat i$ (por ejemplo) en realidad media ?
- $\mathrm{curl}(\vec F)=0$ para todos los puntos en los que $\vec F$ se define, y
- (???) Para cualquier curva cerrada y suave $C$ encerrando el origen, tenemos que $\oint_C \vec F \cdot d\vec r = 1$ (???)
El problema es que, en 3D, no se puede decir que una curva cerrada (a diferencia de una superficie cerrada) encierre un punto. Al fin y al cabo, si $\mathrm{curl}(\vec F)=0$ en todas partes excepto en el origen, entonces podríamos simplemente aplicar el teorema de Stokes a una superficie cuyo límite es $C$ y que no interseca el origen, lo que nos daría inmediatamente que $\oint_C \vec F \cdot d\vec r = 0$ .
De forma más abstracta, la variación del lema de Poincare que se aplica a los rizos es mucho más fuerte que la que se aplica a las divergencias en el siguiente sentido: Si $\mathrm{div}(\vec F)=0$ sólo podemos concluir que $\vec F = \mathrm{curl}(\vec A)$ si el dominio tiene forma de estrella; sin embargo, si $\mathrm{curl}( \vec F)= 0$ entonces podemos concluir que $\vec F = \mathrm{grad}(\varphi)$ para algún escalar $\varphi$ si el dominio es simplemente simplemente conectado que es un lejos una restricción más débil en el dominio.
Por ejemplo, si eliminamos un solo punto de $\mathbb R^3$ entonces ya no tiene forma de estrella, sino que es simplemente conectados, lo que significa que $\mathrm{curl}(\vec F)=0 \implies \vec F= \mathrm{grad}(\varphi)$ lo que hace imposible cualquier variación de (4). La única manera de evitar esto es hacer que $\mathbb R^3$ no simplemente conectada - lo que requeriría (como mínimo) eliminar toda una línea del espacio.
(Por supuesto, si trabajas en 2D, todo esto desaparece. $\mathbb R^2$ con un punto eliminado ya no está simplemente conectado, y usted puede tienen "rizos" (valorados por la distribución) que se definen en un único punto, donde definimos el pseudoescalar 2D $\mathrm{curl}(F) \equiv \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}$ .)
Físicamente...
La operación de divergencia mide el flujo local hacia fuera de un campo vectorial en un punto. $\mathrm{div}(\vec F)(\vec r)=\delta^3(\vec r)$ significa que el flujo de salida de $F$ a través de cualquier superficie que encierre $\vec r=0$ es 1. Si sustituimos el campo electrostático $\vec E$ y considerar las ecuaciones de Maxwell, esto significa simplemente que la distribución de la carga es una carga puntual (que podríamos imaginar como el límite de una fuente esféricamente simétrica en el límite a medida que se encoge hasta el radio cero).
En cambio, la operación de rizado mide la circulación local de un campo vectorial en un punto. $\mathrm{curl}(\vec F)(\vec r)=\delta^3(\vec r)$ (presumiblemente) significa que la circulación de $\vec F$ alrededor de cualquier bucle que contenga $\vec r=0$ es 1, pero como se ha dicho anteriormente no tiene sentido decir que un bucle contiene o no un punto en $\mathbb R^3$ . Si sustituimos el magneto campo estático $\vec B$ y considerar las ecuaciones de Maxwell, tal cosa correspondería a un punto actual pero igualmente esto no tendría mucho sentido.
