¿En qué me equivoco al integrarme? $\int x^2(x^3-6)^{34} dx$ por partes?

Question

EDIT : Sólo añadí lo que hizo que la respuesta aceptada tuviera sentido para mí, x^2 u^34 dx = C(u^34 du) donde C es una constante porque quería enfatizar la forma general.

Estaba ayudando a un amigo con los deberes y me dieron la bastante sencilla integral

$$\int x^2(x^3-6)^{34} dx$$

La respuesta que el corrector de tareas acepta como correcta me desconcierta por completo ya que tiene un término con un grado independiente. Es decir

$$\frac1{105}(x^3-6)^{35}+ C$$

Eso no se parece en nada a mi propia respuesta

$$(x^3-6)^{34}(1/3x^3) - \frac {17}{21} x^{42} + \frac {102}{19} x^{38} + C$$

Me parece que hay algún truco raro que nos permite evitar la integración por partes, pero querían que usáramos la integración por partes con u=x^3-6. Estos son los pasos que utilicé.

u = x^3 - 6

w = $u^{34}$

$\frac {d}{dx} w = \frac {dw}{du} \frac {du}{dx} dx$

... $= (34u^{33})(3x^2)dx = 102x^{38} - 612x^{35}$

dv = x^2 dx

v = 1/3 x^3 + C

$I = wv - \int v dw$

... $= (x^3-6)^{34}(1/3x^3) - I_2$

$I_2 = \int (1/3 x^3)(102x^{38} - 612x^{35}) dx$

Sin embargo, independientemente de todo lo demás, no puedo entender cómo se supone que hay un término con un grado, 35, en nuestra respuesta.

Answer 1

La integración por partes apenas es necesaria.

¡Podemos usar la sustitución! Dejemos que $u = (x^3 - 6)$ . Así que $du = 3x^2\,dx$ . Dado $$\int x^2(x^3-6)^{34} dx = \frac 13 \int 3x^2(x^3-6)^{34} dx,$$ bajo la sustitución, la integral se convierte en $$\frac 13\int u^{34} du.$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

$$\int x^2(x^3-6)^{34} dx$$

pero querían que usáramos la integración por partes con u=x^3-6.

Ciertamente estoy de acuerdo con la respuesta de amwhy. La integración por partes es una complicación innecesaria, ya que la $u = \left(x^3 - 6\right)$ la sustitución implica ( informalmente ) que $du = 3x^2 dx.$

Sin embargo, esto plantea la pregunta: ¿cuál era la solución prevista por el compositor del problema, en el supuesto de que usted ( de alguna manera ) combinar $u = (x^3 - 6)$ ¿con la integración por partes?

Por lo tanto, voy a intentar averiguar lo que el compositor del problema podría haber pretendido.

Por comodidad, omitiré mostrar cualquier constantes de integración .

Utilizaré la idea de que

$$\left(\int a ~db\right) = ab - \left(\int b ~da\right). \tag1 $$

Set $\displaystyle I = \int x^2(x^3-6)^{34} dx.$

Set $u = (x^3 - 6).$

Set $a = u^{34}.$
Set $db = x^2~dx.$

Entonces, $\displaystyle I = \int a ~db.$

Siguiendo la fórmula de (1) anterior,

$\displaystyle I = ab - \int b ~da.$

Desde $a = u^{34},$ tienes que $da = 34u^{33} du.$

Desde $db = x^2 ~dx$ , tienes que

$$b = \frac{x^3}{3} = \frac{1}{3} (u + 6). \tag2 $$

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Editar
Creo que se podría argumentar, de cualquier manera que:

• Todo este planteamiento es una tontería, y un intento de sustitución debería ser su primer intento. Entonces, la integración por partes no se utilizaría para este problema.

• En la refutación, además de reforzar el uso correcto de la integración por partes, tienes que el nuevo alumno de Matemáticas es accidentalmente descubriendo el resultado conveniente en (2) anterior, por el método pedestre de integración por partes. Así pues, existe la sugerencia de que si un problema de integración no parece plegarse inmediatamente a una sustitución, esa integración por partes podría revelar una idea.

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Así que, $\displaystyle I = u^{34}\left[\frac{1}{3} (u + 6)\right] - J ~=~ \left[\frac{u^{35}}{3} + 2u^{34}\right] - J$ ,

donde $\displaystyle J = \int 34u^{33}\left[\frac{1}{3} (u + 6)\right] ~du = \int \left[\frac{34u^{34}}{3} + 68u^{33}\right] ~du.$

Tienes que $~\displaystyle J = \frac{34u^{35}}{105} + 2u^{34}.$

Por lo tanto,

$~\displaystyle I = \left[\frac{u^{35}}{3} + 2u^{34}\right] - \left[\frac{34u^{35}}{105} + 2u^{34}\right] = \frac{u^{35}}{105} ~=~ \frac{(x - 6)^{(35)}}{105}.$