Convertir una ecuación con conjugado complejo en una ecuación polinómica

Question

He encontrado la ecuación $z^2 = z^*$ donde * significa el complejo conjugado. He conseguido resolver esta ecuación: $z:=(a+bi)$ entonces $a^2-b^2+2abi=a-bi$ , lo que significa que $$a^2-b^2=a \land 2ab=-b$$ Las raíces de este sistema $(a;b)$ sont $(0;0),(1;0)$ y $(-\frac12;\pm\frac{\sqrt3}2)$ . Es obvio que las raíces no nulas son las raíces cúbicas de la unidad. ¿Hay alguna manera de convertir $z^2 = z^*$ en $z^4=z$ ¿que tiene las mismas raíces? Si no es posible, también me interesa saber si podemos resolver la ecuación original con un método diferente, puramente complejo?

Answer 1

SUGERENCIA:

Tomando el módulo en ambos lados, $$|z|^2=|z^*|=|z|$$

$$\implies|z|(|z|-1)=0$$

Si $|z|\ne0,|z|=1$

WLOG $z=e^{it}$ donde $t$ es real.

Answer 2

Multiplica ambos lados por $z$ .(Considerando $z\neq 0$ )

$$z^2=\bar z \implies z^3= \bar z \cdot z$$

Es un resultado estándar que $z \cdot \bar z=|z|^2$ . Usando esto obtenemos -

$$z^3=|z|^2$$

Tomando el módulo de ambos lados obtenemos $|z^3|=|z|^2\implies |z|=1$ .

Así, obtenemos $$z^3=|z|^2=1$$