Encuentre $F ' (x)$ . $F(x) = \int_5^{x^2} \frac{1}{t^4} dt$

Question

En primer lugar. Me disculpo si mi Mathjax es malo. Todavía estoy aprendiendo y me tomó un tiempo para escribir este mathjax.

Pregunta: No puedo resolver este problema. Entiendo cómo $\frac{1}{t^4}$ = $t^-4$ pero estoy atascado en lo que sería lo siguiente. ¿Me pueden orientar? ¿Sería?

$F(x) = \int_5^{x^2} \frac{1}{t^4} dt$

$F(x)= (x^2)^4) - (5)^4)$

^No he podido poner un exponente -4 con mis conocimientos de mathjax todavía.

Answer 1

La segunda FTC establece que para una función integrable $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y $x\in]a,b[$ tenemos $$G(x)=\int_a^xf(t)dt\quad\implies\quad G'(x)=f(x)$$ De la regla de la cadena se deduce $$F(x)=\int_5^{x^2}\frac1{t^4}dt\quad \implies \quad F'(x)=\frac1{(x^2)^4}\cdot(x^2)'=\frac{2x}{x^8}=\frac2{x^7}$$

Answer 2

Guía:

Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo:

• Si $G(x) = \int_a^x g(t) \, dt$ entonces $G'(x) = g(x)$ .

Además, utiliza la regla de la cadena ya que el límite superior es $x^2$ .

Answer 3

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{5}^{x^{2}}\dfrac{1}{t^{4}}dt=\dfrac{d}{dx^{2}}\left(\displaystyle\int_{5}^{x^{2}}\dfrac{1}{t^{4}}dt\right)\dfrac{dx^{2}}{dx}=\dfrac{1}{(x^{2})^{4}}\cdot2x=\dfrac{2}{x^{7}}$ .

Answer 4

Para $$F(x) = \int_5^{x^2} \frac{1}{t^4} dt$$ se puede evaluar la integral y luego diferenciar como sigue: \begin{align} F(x) &= \int_{5}^{x^{2}} \frac{dt}{t^{4}} \\ &= \left[ - \frac{1}{3 \, t^{3}} \right]_{5}^{x^{2}} \\ &= - \frac{1}{3} \, \left( \frac{1}{x^{6}} - \frac{1}{125} \right). \end{align} Ahora, $$F'(x) = \frac{2}{x^{7}}.$$