Acción de $PGL(n+1)$ en $\mathbb P^n$ ¡!

Question

Qué es la acción de $PGL(n+1)$ en el espacio proyectivo $\mathbb P^n$ ? (sobre campo algebraico cerrado)

Answer 1

$\mbox{GL}(n+1)$ actúa sobre $k^{n+1}\backslash\{0\}$ por multiplicación matricial-vectorial. Tomando el cociente por el grupo $k^*$ Esto hace que la acción de $\mbox{GL}(n+1)$ en $k^{n+1}\backslash\{0\}$ descender a una acción de $\mbox{PGL}(n+1)$ en $\mathbb{P}^n$ . Explícitamente, un elemento $[A]\in\mbox{PGL}(n+1)$ inducido por una matriz $A$ actúa sobre $[x_0:\cdots:x_n]$ por $$[A]\cdot[x_0:\cdots:x_n]=\pi\left(A\left(\begin{array}{c}x_0\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\right),$$ donde $\pi:k^{n+1}\backslash\{0\}\to\mathbb{P}^n$ es la proyección natural.