¿Existe una conexión entre el álgebra booleana y la probabilidad?

Question

¿Existe una abstracción unificadora que vincule el álgebra booleana y la teoría de la probabilidad?

Tanto el álgebra booleana como la probabilidad nos proporcionan los medios para responder preguntas sobre la participación en conjuntos. Por un lado, el álgebra booleana es una visión absoluta y binaria de la participación en conjuntos: o estás dentro o estás fuera (0 o 1). Con la probabilidad podemos pensar en "grados" esperados de participación dentro de un conjunto de acuerdo con una probabilidad con valores reales que se extiende entre 0 y 1.

¿Es esto más o menos hasta donde puedo hacer una comparación? Me gustaría saber si se ha hecho algún trabajo para desarrollar una conexión más profunda entre una variable de probabilidad y una variable booleana. ¿Existen fuentes que describan el álgebra booleana como un caso límite de la teoría de la probabilidad?

Answer 1

Echa un vistazo a "Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia" de Jaynes. Él presenta la probabilidad como una extensión de la lógica, desarrollándola como álgebra booleana con incertidumbre.

Answer 2

No estoy seguro de cómo lo harían los matemáticos reales, pero tengo una técnica que utilizo.

Represento las probabilidades como literales binarios y dejo que el álgebra booleana funcione como lo haría normalmente.

Por ejemplo,

Acepta alguna probabilidad de que un literal sea verdadero: P() = 0.65 y luego simplemente introduce eso en el álgebra booleana de la forma en que normalmente lo harías: !.s + .!s = F s | F 0 0 | 0 0 1 | 1 1 0 | 1 1 1 | 0