La imagen de Schrodinger es que los operadores son independientes del tiempo. Pero el operador de evolución temporal $U(t)$ depende del tiempo. ¿Por qué?
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Otras personas han dado grandes respuestas, sólo quería añadir mis 2 centavos en caso de que combinado con las otras respuestas te ayude.
En la imagen de Schrodinger, la afirmación no es que todo son independientes del tiempo. Más bien, la afirmación es que: los estados evolucionan con el tiempo, los operadores observables son independientes del tiempo . Así que mi estado en el cuadro de Schrodinger $|\psi_S\rangle$ dependerá del tiempo: $|\psi_S\rangle = |\psi_S(\vec{r}, t)\rangle$ y mis operadores observables no dependerán del tiempo: $S_x \neq S_x(t)$ .
Sin embargo, los operadores que corresponden a los no observables pueden depender del tiempo. $U(t)$ no es un operador correspondiente a un observable (esto es obvio ya que $U(t)$ no es hermético).
En la imagen de Heisenberg, son los estados los que no evolucionan con el tiempo y los operadores observables los que lo hacen.
Espero que eso ayude.
Stefano
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763
El operador de evolución temporal $U(t)$ no es realmente un operador observable en el Schrödinger ni el Imágenes de Heisenberg per se, sino más bien un operador que se entrelaza entre las dos imágenes.
Unnikrishnan. K.H
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98
Como operador, el operador de evolución temporal refleja la evolución temporal de un conjunto de estados. Supongamos que tenemos un estado ket dado por $\vert\alpha,t_0\rangle$ en $t=t_0$ . El operador de evolución temporal le indica la evolución del estado ket en un momento posterior $t$ , $\vert\alpha,t_0;t\rangle$ .
Para el caso simple en el que el Hamiltoniano del sistema es independiente del tiempo, el operador de evolución temporal tiene la forma
$$U(t,t_0)=exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$$
que se deduce de la ecuación de Schrodinger para el operador de evolución temporal:
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$$
Como se puede ver, el operador de evolución temporal no depende de los valores absolutos de $t$ o $t_0$ En cambio, sólo depende de la diferencia entre ambos. Por tanto, el operador de evolución temporal no depende explícitamente del tiempo.
Es decir, dado el intervalo de tiempo en el que se produce la evolución, los elementos matriciales del operador con respecto a los kets base del hamiltoniano no son variables en el tiempo. Es posible que se confunda con el término $t-t_0$ en el operador. Esto es necesario ahí porque nos habla de la evolución temporal que le ocurre al conjunto de estados a lo largo de ese intervalo de tiempo, siempre que conozcamos el estado inicial del sistema. Pero, dentro de ese intervalo de tiempo concreto, la forma del operador no cambiará.
Se puede hacer una analogía con el caso de los kets estacionarios. Como su nombre indica, no cambian con respecto al tiempo. Sin embargo, si se analiza la función de onda
$$\psi(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iHt}{\hbar}}$$
hay una parte que depende del tiempo. ¿Significa esto que el estado estacionario evoluciona en el tiempo? En cierto modo, sí. Aunque los propios estados evolucionan en función del tiempo, cualquier cantidad medible o los valores de expectativa de los observables siguen siendo independientes del tiempo. ¿Cómo es esto posible? La parte que depende del tiempo sólo puede dar lugar a un cambio en el factor de fase, eso es todo.
En resumen, para un determinado intervalo de tiempo de evolución, la función de onda, en general, cambia su forma, pero el operador no. Esto es exactamente la imagen de Schrodinger.
tparker
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156
Conceptualmente, suele ser mejor pensar en el operador de tiempo-evolución $U(t_f, t_i)$ como dependiendo de dos veces: una inicial y otra final. Cuando lo escribimos en la forma $U(t)$ como dependiente de un solo tiempo, estamos (a) dejando $t := t_f$ e implícitamente se establece $t_i$ a algún tiempo de referencia entendido como $t_i = 0$ y/o (b) si el sistema es invariante traslacional en el tiempo, entonces $U$ sólo depende de la diferencia $t_f - t_i$ y denotamos esta diferencia por $t$ . (El caso (b) puede considerarse como un caso especial del caso (a)). Aunque a menudo podemos salirnos con la nuestra en muchas situaciones útiles, estrictamente hablando sólo se aplica en casos especiales.
Para tratar de entender las propiedades generales de los operadores de evolución temporal, es mejor considerar el caso general con dos tiempos y pensar en $U(t_f, t_i)$ . Al hacerlo, vemos que el operador de evolución del tiempo no tiene en realidad ningún valor específico en un instante determinado del tiempo, sino que describe intrínsecamente el relación entre dos diferentes veces. Es más un vector de desplazamiento que un vector de posición. (Incluso en el caso de invariante temporal, la versión de un solo argumento $U(t_f - t_i)$ se define técnicamente sobre una dimensión espacio afín y no sobre un espacio vectorial unidimensional como cabría esperar).
