Ampliando mi comentario porque me he dado cuenta de los errores que estaba cometiendo antes: dejemos $L$ denotan el pullback de la clase de una línea general en $P^2$ a $P_7$ . El grado de un mapa finito sobre $\mathbb C$ es la cardinalidad de una fibra general. Puesto que un punto general es la intersección de dos líneas generales, y H es por definición la clase del pullback de $\mathcal O_{P^2}(1)$ podemos calcularlo como el número de intersección $$ H^2 = (3L - E_1 - \cdots -E_7)^2 = 9L^2 + E_1^2 + \cdots + E_1^2 = 9-1-\cdots -1=2, $$
donde $L.E_i$ y todos los términos cruzados $E_i.E_j$ se desvanecen porque $L$ es general, y porque la explosión de puntos generales produce divisores excepcionales disjuntos.
En cuanto a la ramificación, es una cuestión esencialmente topológica. La característica topológica de Euler $\chi$ de $P^2$ es $3$ y la voladura de un punto (ya que sustituye un punto por un $2$ -esfera) aumenta $\chi$ por $1$ Así que $\chi(P_7) = 10$ . Ahora, cuando tenemos una cubierta doble ramificada $X\to Y$ podemos pensar en $X$ como si se construyera cortando el locus de la rama $C$ de $Y$ para obtener una variedad afín $U$ , tomando dos copias de $U$ y pegando de nuevo a lo largo de una sola copia del locus de la rama, por lo que $\chi(Y) = 2\chi(U) + \chi(C)$ . Completando lo que sabemos obtenemos $$ 10 = 2(3 - (2-2g(C))) + (2-2g(C)) = 2(1 + 2g(C)) + 2 - 2g = 4 + 2g(C) $$
por lo que $g(C) = 3$ . Suponiendo ahora que $C \subset P^2$ es suave, debe ser un cuártico por la fórmula del grado-genio.
Para ver que $C$ es suave requiere un cálculo local que te dejaré. Quieres demostrar que la superficie definida por $w^2 = F(x,y,z)$ en $P^2 \times A^1$ es suave si y sólo si la curva plana $F=0$ es suave. Como sabemos $P_7$ es suave, concluimos que $C$ es suave.
