Construir una representación irreducible que no asigne un elemento a la identidad

Question

Estoy estudiando un antiguo examen de habilitación, y una de las preguntas es la siguiente: Si $G$ es un grupo finito, y $\{ \phi_{i} \}_{i \in I}$ son las representaciones irreducibles de $G$ (Supongo que sobre algún campo fijo, digamos, $\mathbb{C}$ (aunque la pregunta no lo especifica), entonces $\bigcap_{i} \ker(\phi_i) = \{ e\}$ . Da la pista para considerar la representación regular de $G$ . La forma en que leo esto es "si $h \in G \setminus \{e\}$ entonces existe una representación irreducible $\phi : G \to \mathbf{GL}(V)$ de $G$ tal que $\phi(h) \neq \operatorname{id}_{V}$ ". El problema aquí es que no sé cómo construir esa representación con tanta generalidad. En general, puedo construir una $\mathbb{C}$ -subespacio de $\mathbb{C}[G]$ tal que $h$ fija el espacio vectorial y no es la identidad, por ejemplo $W = \operatorname{span}_{\mathbb{C}} \left\{ \sum_{k = 0}^{|h| - 1} e^{2 \pi i k / |h|} h \right\}$ pero, en general, no se trata de un $G$ -invariante del subespacio.

No sé por dónde ir con esto y agradecería cualquier consejo. Gracias.

Answer 1

Supongo que estamos trabajando sobre un campo $K$ avec $\operatorname{char}(K) \nmid |G|$ para que $K[G]$ se descompone en representaciones irreducibles por el Teorema de Maschke.

Un elemento $g \in G$ está contenida en $\bigcap_{i \in I} \ker(\phi_i)$ si y sólo si actúa trivialmente sobre toda representación irreducible de $G$ . Desde $K[G]$ se descompone en representaciones irreducibles se deduce entonces que $g$ actúa trivialmente sobre $K[G]$ . Pero entonces $g = g \cdot 1_{K[G]} = 1_{K[G]} = 1_G$ .