¿Cómo se entiende una función delta de un campo escalar?

Question

Descargo de responsabilidad: Originalmente publicado en el SE de matemáticas, pero pensé que era mejor en el SE de física, así que borré mi post en el SE de matemáticas y lo publiqué aquí.

En el clásico resumen de revisión de la cuantización estocástica aquí en particular la ecuación 3.14, en la que la condición inicial viene dada como \begin{equation} P(\phi,0)= \prod\limits_{x} \delta(\phi(x)). \tag{3.14} \end{equation} No entiendo muy bien el producto porque parece que $\phi(x)$ es un campo escalar definido sobre todo $\mathbb{R}^n$ Así que no estoy seguro de cómo interpretar el producto en general. $x$ . Además, ¿qué significa la función delta en este contexto (que la entrada $\phi = 0$ )?

Pasé mucho tiempo revisando la literatura relacionada y no pude encontrar una explicación de esto, así que cualquier idea sobre esto sería muy apreciada.

Answer 1

Ref.1 ya está en la ec. (3.1) considerando un integral funcional sobre el campo escalar $\phi:M\to \mathbb{R}$ . Aquí $M$ es el espaciotiempo. Para un tratamiento riguroso de las integrales funcionales, la Ref. 1 señala al principio de la sección 3 su Ref. [3.2]. En esta respuesta nos limitaremos a adoptar un enfoque heurístico intuitivo, e intentaremos construir la integral funcional como un límite continuo apropiado de un espacio-tiempo discretizado.

Más detalladamente, si $x_i\in M$ denota un punto discreto del espaciotiempo etiquetado por un índice $i\in I$ en un conjunto de índices finitos $I$ entonces la distribución de probabilidad $P$ se convierte en un (posiblemente generalizado ) función

$$P: ~\mathbb{R}^{|I|}\times \mathbb{R}~\longrightarrow~\mathbb{R} ,$$

y la ec. (3.14) se reduce a un producto finito de Distribuciones de Dirac

$$P(\phi,t\!=\!0)~=~ \prod\limits_{i\in I} \delta(\phi_i), \qquad \phi_i~:= ~\phi(x_i),\tag {3.14'}$$

que ahora está bien definida. Aquí el parámetro $t$ es un tiempo "fiduciario" que no debe confundirse con el tiempo en el espaciotiempo $M$ .

La ecuación (3.14') se convierte en la afirmación de que la distribución de probabilidad $P$ tiene "inicial soporte en $\phi=0$ .

Para obtener las probabilidades finitas hay que integrar la densidad de probabilidad $P$ sobre las variables $\phi_i$ , $i\in I$ . En otras palabras, en última instancia, queremos insertar $P$ como un integrando en la integral funcional sobre $\phi$ , véase, por ejemplo, la ecuación (3.20).

Referencias:

1. P.H. Damgaard y H. Huffel, Cuantización estocástica, Phys. Rep. 152 (1987) 227, ( pdf ).