Homotopía de trayectorias cerradas y continuas a la vez que suaves

Question

Me he encontrado con una pregunta que parece tener sentido a nivel intuitivo, pero me falta algún tipo de prueba concreta.

He de demostrar que para un punto base dado (llámese $\alpha$ ) en un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ cada bucle/trayectoria cerrada (especialmente continua) de $\alpha$ a $\alpha$ es homotópica a una trayectoria cerrada y parcialmente suave en torno al mismo punto $\alpha$ (por ejemplo, una cadena poligonal cerrada).

De nuevo, parece bastante intuitivo desde el punto de vista conceptual, pero no consigo aportar nada concreto a esta afirmación. He visto que tales trayectorias/bucles cerrados y suaves a trozos son homotópicos a trayectorias de la forma $\ e^{2\pi itk}$ para algunos $(k\,\epsilon \,\mathbb{Z})$ que sería un camino cerrado continuo, pero no sabría cómo generalizar más para el punto base/subconjunto anterior o si esto es incluso una dirección válida a la que dirigirse.

¿Pensamientos/punto de partida?

Answer 1

Aquí hay un esquema de cómo lo probaría, aunque como se señala en los comentarios probablemente sea más difícil que esto:

• Cualquier camino cerrado es compacto, ya que es la imagen de un conjunto compacto ( $S^1$ ) bajo un mapa continuo.

• Imagina que ahora cubres el camino con bolas abiertas. Esto forma una cubierta abierta del camino. Como el camino es compacto, existe una subcubierta finita del camino.

• Dentro de cada bola abierta en esta subcubierta finita, el camino puede ser deformado homotópicamente a una línea recta. (Habrá que tener cuidado en las regiones de solapamiento para garantizar que esta homotopía esté bien definida en las intersecciones entre los conjuntos abiertos).

Así se define una trayectoria poligonal que es homotópica a la trayectoria original.

Answer 2

Dejemos que $\gamma:[0,1] \to \Omega$ sea su trayectoria continua cerrada. Por comodidad, considérelo como un $1$ -función periódica $\gamma: \mathbb R \to \Omega$ .

Consideremos una función de baches $\eta: \mathbb R \to [0,1]$ es decir $\eta$ es $C^\infty$ con un soporte compacto y $\int_{\mathbb R} \eta=1$ . Definir las dilataciones $\eta_\epsilon(x) = \frac1{\epsilon} \eta\bigl(\frac x \epsilon\bigr)$ . Un resultado estándar ahora es que la convolución $\gamma^\epsilon = \eta_\epsilon * \gamma$ definido por $(\eta_\epsilon * \gamma)(t) = \int_{\mathbb R} \eta_\epsilon(\tau) \gamma(t-\tau) \, dt$ es $C^\infty$ et $\gamma^\epsilon \to \gamma$ uniformemente en $[0,1]$ .

En particular, hay un $\epsilon>0$ tal que el segmento de línea que une $\gamma(t)$ et $\gamma^\epsilon(t)$ está contenida en $\Omega$ para todos $t \in [0,1]$ . Esto se debe a que la imagen de $\gamma$ es compacta, por lo que una pequeña vecindad tubular de la misma está contenida en $\Omega$ . Esto implica ahora que $\gamma$ et $\gamma^\epsilon$ son homotópicos, $\gamma^\epsilon$ siendo suave.

Por supuesto, esto no arregla el punto final. Para solucionarlo, puede simplemente traducir $\gamma^\epsilon$ en $\Omega$ por el vector derecho, suponiendo que $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.