Combinatoria - Eliminación de los casos doblemente contados

Question

Aquí están mis soluciones: $$1.)\,(2)(4!)=48$$ $$2.)\,(4)(3)(3!)=72$$ $$3.)\,48+48+3!=102$$

Es el último en el que me equivoco. La respuesta correcta es la 42. El manual de soluciones del libro de texto dice lo siguiente:

Alguien podría explicar qué son exactamente los casos de doble contabilidad. Además, ¿qué hay de malo en mi forma de hacer 1c? Creo que es un simple problema de O, como una aplicación del principio de adición.

Muchas gracias.

Answer 1

Para la pregunta 3, has contado un número de combinaciones dos veces.

3*3! es el número de formas en que Anya está a la izquierda y Elena no está a la derecha. Este es el mismo número cuando Elena está a la derecha y Anya no está a la izquierda.

Cuando ambos están a la derecha y a la izquierda, ese número es 3!.

Así que, ¡3*3! ¡+ 3*3! + 3! = 42

Answer 2

Hay $4!=24$ posibles permutaciones tales que Anya está a la izquierda ( $3!=6$ o estas permutaciones es que Elena está a la derecha).

Hay $4!=24$ posibles permutaciones tales que Elena esté a la derecha ( $3!=6$ o estas permutaciones es que Anya está a la izquierda).

Le site $6$ Los casos en que Anya está a la izquierda y Elena a la derecha se cuentan dos veces.

Así, el número de permutaciones es $24+24-6=42$ .

Answer 3

Considere los tres eventos:

Cuando $Anya$ está en el extremo izquierdo de la línea, hay $4!$ formas de organizar el resto de cuatro personas (incluyendo los casos en los que $Elena$ se encuentra en el extremo derecho de la línea): $$A \ \times \ \times \ \times \ \times$$ Cuando $Elena$ está en el extremo derecho de la línea, hay $4!$ formas de organizar el resto cuatro personas (incluyendo los casos en que $Anya$ se encuentra en el extremo izquierdo de la línea): $$\times \ \times \ \times \ \times \ E$$ Cuando $Anya$ se sitúa en el extremo izquierdo y $Elena$ está en el extremo derecho de la línea, hay $3!$ formas de organizar el resto tres personas: $$A \ \times \ \times \ \times \ E$$ Obsérvese que el primer evento también contó los resultados de $Elena$ en el extremo derecho de la línea y el segundo evento también contó los resultados de $Anya$ en el extremo izquierdo de la línea, por lo que cuando se suman los dos primeros eventos, los resultados de $Anya$ primero y $Elena$ últimos se cuentan dos veces, por lo que deben restarse una vez: $$4!+4!-3!=42.$$

Answer 4

Dejemos que $A$ sea el caso de que Anya esté en el extremo izquierdo de la línea; sea $B$ sea el caso de que Elena esté en el extremo derecho de la línea. Entonces el evento de que Anya esté a la izquierda o Elena esté a la derecha o ambos es $A \cup B$ .

Queremos encontrar $|A \cup B|$ el número de elementos que están en la unión de $A$ et $B$ . Obsérvese que si simplemente sumamos el número de elementos en $A$ , $|A|$ al número de elementos en $B$ , $|B|$ habremos añadido esos elementos en la intersección dos veces. Sólo queremos contarlos una vez. Por lo tanto, debemos restarlos del total. Por lo tanto, $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

$|A|$ : Anya está en el extremo izquierdo de la línea. Hay una forma de colocar a Anya y $4!$ maneras de colocar a las cuatro personas restantes en los cuatro puestos restantes. Por lo tanto, hay $4!$ arreglos en los que Anya está en el extremo izquierdo de la línea.

$|B|$ : Elena está en el extremo derecho de la línea. Hay una forma de colocar a Elena y $4!$ maneras de colocar a las cuatro personas restantes en los cuatro puestos restantes. Por lo tanto, hay $4!$ arreglos en los que Elena está en el extremo derecho de la línea.

$|A \cap B|$ : Anya está en el extremo izquierdo de la línea y Elena está en el extremo derecho de la línea. Anya puede colocarse de una manera, Elena puede colocarse de una manera, y las tres personas restantes pueden disponerse en las tres posiciones restantes en $3!$ formas.

Por lo tanto, $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 4! + 4! - 3!$$