En primer lugar, ¿es posible enunciar un problema bien conocido y saber qué axiomas se permiten para él? Supongo que hay que mirar las ramas de las matemáticas implicadas, pero no soy matemático.
Por lo tanto, me gustaría preguntar a las personas que trabajan en este problema si existe una lista fija de axiomas permitidos para este problema.
La mayoría de las matemáticas cotidianas funcionan con un conjunto de axiomas conocidos como ZFC . Algunos matemáticos estudian posibles (pequeños) cambios en ese sistema de axiomas, con diversas implicaciones interesantes (para ellos). Pero la mayoría de las alternativas propuestas no afectan al trabajo en la mayoría de los problemas abiertos.
He aquí una analogía. Hay (probablemente) ingenieros que se pasan el tiempo pensando en formas de formular el hormigón para hacerlo un poco más barato, o un poco más fuerte, o un poco más duradero. Pero lo que hacen no afecta al diseño de los rascacielos, que serán estables con cimientos construidos con el hormigón estándar actual de la industria, y lo serían con cualquiera de las variantes aceptables conocidas. Así que los arquitectos no tienen que prestar atención al hormigón.
Raramente. de vez en cuando, hay un reto de diseño de edificios en el que la construcción sí depende de esas variantes en los cimientos.
Creo que la mayoría de los matemáticos piensan que la hipótesis de Riemann es análoga al diseño de un rascacielos muy alto. Se necesitarán nuevas técnicas de construcción, pero no nuevos cimientos.
Ingenuamente, la respuesta es "cualquier buen sistema axiomático que no sea obviamente inconsistente y que pueda proporcionar una base sólida para la aritmética".
Así que puedes trabajar con la Aritmética de Peano, o los axiomas de Peano de segundo orden, o una de las muchas teorías de conjuntos, o simplemente $\sf ZFC$ o aumentar $\sf ZFC$ por cualquier axioma cardinal grande, o por axiomas como $V=L$ y mucho más.
La cuestión aquí, es que casi nada de esto importa. La Hipótesis de Riemann es equivalente a una $\Sigma_1$ frase en el lenguaje de la aritmética, llamémosla $\varphi$ por ahora. Este es un hecho casi irrelevante, pero tiene una consecuencia interesante: basta con demostrar que $\varphi$ es válida para los números naturales para demostrar que la hipótesis es válida.
Y casi no importa cuál es el sistema axiomático que estás utilizando, ya que la mayoría de los sistemas axiomáticos básicos que permiten el desarrollo de la aritmética estarán de acuerdo en si un $\Sigma_1$ La frase es verdadera en $\Bbb N$ .
(Hay una advertencia aquí, que estos sistemas necesitan estar de acuerdo en lo que es $\Bbb N$ para empezar, pero ignoremos esto por ahora, porque podemos, e incluso una prueba bajo este supuesto sería extraordinaria y probablemente aceptada como prueba por el grueso de los matemáticos).
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