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Isomorfismo Gaussiano y Cocientes Polinómicos

¿Cómo es que $$\mathbb{Z}[i]/(2+i) \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+1,2+x)$$ se desprende formalmente del hecho de que $$\mathbb{Z}[i] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)?$$

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$\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}$ $\newcommand{\ideal}[1]{{\mathfrak #1}}$ Se puede transformar

$$ \begin{multline} \ZZ[i]/(2+i)\ZZ[i] = (\ZZ[x]/(x^2+1))/((2+\bar{x})\ZZ[x]/(x^2+1)) = \\ =(\ZZ[x]/(x^2+1))/((2+x) \ZZ[x]/(x^2+1)) = (\ZZ[x]/(x^2+1))/((2+x,x^2+1)/(x^2+1)) = \\ = \ZZ[x]/(2+x,x^2+1) \end{multline} $$

utilizando $(M/P)/(N/P) = M/N$ pour $A$ -módulos $M \supseteq N \supseteq P$ (teorema del isomorfismo de Noether) y $\ideal{a} (A/\ideal{b}) = (\ideal{a} + \ideal{b})/\ideal{b}$ pour $\ideal{a}, \ideal{b} \subseteq A$ dos ideales de $A$ .

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