Tengo una EDP no lineal en su interior con un dominio de la bola unitaria: $$\begin{cases} \Delta u = u^3 &\text{in} \ \ B(x,1) \\ u =0 &\text{on} \ \ \partial B(x,1) \end{cases} $$ Me piden que demuestre la singularidad de este problema. Hasta ahora, sólo he demostrado la unicidad y la existencia para las EDP lineales, no para las no lineales. Normalmente, la demostración es tan fácil como multiplicar por $u$ aplicando el teorema de la divergencia, y la identidad $D(uDu) = u\Delta u + |Du|^2$ . Sin embargo, como la EDP es no lineal, esto no funciona. Sería genial si alguien pudiera ayudarme con esto, o proporcionar una referencia para ayudarme.
Respuesta
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Tienes razón en que el método estándar no funciona ya que se basa en la linealidad, pero lo mismo técnica puede aplicarse. Mutiplicando la EDP por $u$ e integrando sobre $B(x,1)$ utilizando $-u\Delta u = |\nabla u|^2 - \nabla\cdot(u\nabla u)$ y aplicando el teorema de la divergencia al último término nos da $$u^4 - u\Delta u = 0 \implies \underbrace{\int [u^4 + |\nabla u|^2]{\rm d}V}_{>0~\text{if $ u\not\equiv 0 $ since integrand is positive}} - \underbrace{\int u\nabla u\cdot {\rm d}S}_{\text{zero since}~u =0~\text{on boundary}} = 0$$
La única manera de que esto sea cierto es si $u^4 + |\nabla u|^2 \equiv 0$ así que $u \equiv 0$ . También es fácil comprobar que se trata efectivamente de una solución al problema.
