Todo el mundo sabe que un punto en cualquier plano tiene magnitud, altura, anchura o volumen nulos. Una línea es un conjunto de puntos, y un plano es un conjunto de líneas, mientras que un cubo es un conjunto de planos, etc.
Cómo es entonces que cualquier línea, superficie o cubo puede estar formado por puntos que no tienen ninguna magnitud área, etc.
Para calcular la "suma" de longitudes/áreas/volúmenes, etc., de una colección de subconjuntos, es necesario que la colección de subconjuntos sea contable. Pero si se toma una curva o superficie, etc., y se observan todos los puntos del conjunto, éste es incontable. Así que no se puede razonar que la longitud/área/volumen total, etc., es $0 + 0 + \ldots = 0$ . En todo caso, hay que tener en cuenta que, por ejemplo, para la duración de $S$ a lo largo de la línea se obtiene $dx + dx+ \ldots$ , "sumado" sobre todos los puntos de $S$ que es efectivamente cero para un conjunto de puntos contables $S$ pero para todos los puntos de un segmento de línea se obtiene una integral (no suma contable) de $dx$ que da la longitud del segmento de línea.
Porque la longitud, el área, el volumen, etc. no son formas de contar puntos, sino formas de contar tamaños relativos a una unidad. Las estructuras de un espacio topológico o de un espacio de medida asignan la propiedad de ser una mancha de espacio a colecciones de puntos, en lugar de asignarles una composición de puntos. Cuando se tiene un conjunto finito de puntos en lo que se quiere que sean manchas de espacio, la medida de recuento es apropiada. Pero no cuando se llega a conjuntos infinitos. Consideremos el mapa que envía el $n^{\text{th}}$ Número de impar a $n$ y el $n^{\text{th}}$ número par a $-n$ a partir del $0^{\text{th}}$ número par. Es evidente que el número de puntos es igual entre los números naturales y los enteros. Pero te puede parecer más apropiado que los números naturales sean la mitad de los enteros. Además, dos intervalos cualesquiera, por número de puntos, serían iguales en longitud si midieras el espacio como el número de puntos que puedes contar en una región. La cuestión es que si estás axiomatizando tu noción de tamaño relativo, eso no es lo mismo que adquirir una noción de contenido de puntos en la que cada punto contribuye en la misma medida al tamaño.
La cuestión que planteas aquí es similar/está relacionada con cosas como:
El axioma de Arquímedes: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_axiom y las Paradojas de Zenón http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_paradoxes
Creo que la idea es que las líneas son conjuntos de puntos. La longitud de una línea es igual a la cardinalidad del conjunto de los puntos que la componen.
Dicho de otro modo, que el segmento de línea $P_{1}P_{3}$ designar el conjunto $\langle P_1,P_2,P_3 \rangle$ . El segmento de línea tiene una longitud de 3 unidades.
De este modo, asignar medidas reales, como las pulgadas, a las unidades no es diferente de asignar cosas reales a los números. Por ejemplo, $2$ manzanas.
Las matemáticas son abstractas. La abstracción implica dejar cosas fuera (alternativamente, la concreción implica añadir cosas; como prefieras). Dejar fuera cosas físicas nos permite generalizar, que es una razón por la que las matemáticas son tan ampliamente aplicables.
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