Cocientes de espacios estándar de Borel

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios estándar de Borel: espacios topológicos homeomorfos a subconjuntos de Borel de espacios métricos completos. Dado un mapa suryectivo de Borel $f:X\to Y$ obtenemos una relación de equivalencia $\sim_f\subseteq X^2$ dado por $x\sim_fx'$ si $f(x) = f(x')$ . Desde $\sim_f = (f\times f)^{-1}(\Delta_Y)$ donde $\Delta_Y$ es la diagonal de $Y$ obtenemos que $\sim_f$ es un subconjunto de Borel de $X$ .

Ahora, dejemos que $\sim$ sea cualquier otra equivalencia en $X$ que es un subconjunto de Borel de $X^2$ . ¿Existe siempre un espacio de Borel $Z$ y un mapa de Borel $g:X\to Z$ tal que $\sim = \sim_g$ ? ¿Podemos tomar $g$ sea suryectiva en ese caso? ¿Qué condiciones sobre $\sim$ son suficientes para garantizar que $g$ ¿se puede elegir que sea sobreyectiva?

Si pudiéramos definir una estructura topológica en $X/\!_\sim$ que lo convierte en un espacio de Borel, entonces una proyección natural $\pi:X\to X/\!_\sim$ sería un mapa deseado $g$ .

1. Creo que si dotamos $X/\!_\sim$ con el $\pi$ -La topología del cociente, entonces resultará ser un espacio analítico, pero no de Borel en general. ¿Es eso correcto? En tal caso, tal vez podamos tomar $Z$ siendo una compactación de un punto de $X/\!_\sim$ Aunque $g = \pi$ no sería surjetivo en ese caso.

2. Si dotar de la topología del cociente sólo conduce a espacios analíticos, ¿podemos aún introducir alguna topología diferente en $X/\!_\sim$ para que se convierta en un espacio de Borel y $\pi$ es un mapa de Borel?

Editado: como señaló Joel en su respuesta, la existencia de $(g,Z)$ equivale a $\sim$ siendo suave, es decir, existe una reducción de Borel desde $\sim$ a $\mathrm{id}_Z$ .

Kechris en su libro "Classical Descriptive Set Theory" proporciona condiciones suficientes para la suavidad en (18.20) como la existencia de un selector de Borel, o $\sim$ siendo un subconjunto cerrado de un espacio polaco. Aquí se entiende por selector un mapa $h:X\to X$ tal que $x\sim h(x)$ y $x\sim x'$ implica $h(x) = h(x')$ .

La existencia $(g,Z)$ con la sobreprotección de $g$ es una versión más fuerte de la suavidad que requiere la existencia de una reducción suryectiva de Borel. La existencia de un selector Borel de $\sim$ implica la existencia de dicha reducción. El libro de Kechris, por ejemplo (12.16), proporciona condiciones suficientes para la existencia de un selector de Borel. La existencia de un selector suryectivo $g$ no implica necesariamente la existencia de un selector de Borel (ver mi comentario al OP).

El procedimiento a través de la topología del cociente en 1. puede no funcionar en algunos casos como para ser analítico, $X/\!_\sim$ no sólo tiene que ser un cociente de un espacio de Borel, sino también separadas contablemente .

Answer 1

La respuesta es no, y este tipo de preguntas forman parte del tema de la teoría de Relaciones de equivalencia de Borel .

Las relaciones de equivalencia $\sim$ para la que existe una función de Borel $g:X\to Z$ en un espacio de Borel estándar $Z$ con $x\sim y\iff g(x)=g(y)$ son, por definición, precisamente los suave relaciones de equivalencia (véase la definición en la página 5 del enlace anterior). Pero hay relaciones de equivalencia que no son suaves, como la relación $E_0$ de la eventual igualdad de infinitas secuencias binarias. Se pueden encontrar los argumentos de que varias relaciones no son suaves en el artículo al que he enlazado; véase también la página 5 de estas notas de Simon Thomas y Scott Schneider mi prueba favorita de esto utiliza el forzamiento (uno añade un real de Cohen, y ve dónde mapea en la extensión, y luego argumenta que ese real de la imagen debe estar ya en el modelo de tierra, lo cual es imposible).

El tema de las relaciones de equivalencia de Borel estudia toda la jerarquía de las relaciones de equivalencia de Borel bajo la reducibilidad de Borel, que es una especie de noción de complejidad que, en efecto, analiza la dificultad relativa de los problemas de clasificación en matemáticas, y las relaciones de equivalencia suaves ocupan una región cercana a la parte inferior de la jerarquía, entre las relaciones más simples.