¿Puede realizarse el grupo fundamental de cualquier colector como el grp de fondos de un espacio finito?

Question

Recientemente, me pidieron que calculara el grupo fundamental del espacio $X= \{a,b,c,d\}$ con conjuntos abiertos generados por $\{ a, c, abc, acd \}$ .

Resulta que, $\pi_1(X)\cong \mathbb Z$ y de hecho, $X$ es el cociente de $S^1$ (con los hemisferios norte y sur identificados). Pero el resultado no fue tan fácil de probar y esto motiva las preguntas:

• ¿Es el grupo fundamental de cada colector conectado (otras restricciones / generalizaciones sobre el colector son bienvenidas) el grupo fundamental de un espacio finito? (Por supuesto, no sería Hausdorff). (Observo que hay muchos puntos redundantes en un colector donde los bucles homotópicos no necesitan atravesar)

• Es calcular $\pi_1$ de tales espacios finitos más fácil que para el espacio dado? (Si la respuesta es afirmativa, esto da un método para calcular los grupos fundamentales de muchos espacios conocidos)

Quizás el hecho de que $\pi_1$ de cualquier complejo CW sólo depende de su 1-esqueleto [edit:2 esqueleto]-- puede ser útil.

Answer 1

De hecho, existe lo siguiente teorema : Todo complejo CW finito es débilmente equivalente en homotopía a un espacio topológico finito, y viceversa.

Para los complejos simpliciales, este teorema se realiza mapeando un complejo a su poset de caras, y utilizando la correspondencia entre posets finitos y espacios topológicos finitos. En el otro sentido, se mapea un poset a su complejo de orden.

En general, no es fácil calcular los grupos de homotopía de un espacio topológico finito. Sé que hay algunas técnicas en la tesis doctoral de Jonathan Barmak.