Entendiendo $\mathrm{Proj}S$ para un anillo graduado $S$

Question

Para un anillo graduado $S$ , $\mathrm{Proj}S$ se construye en Hartshorne's Geometría algebraica . Entonces la Proposición 2.5 de la misma página dice que $$(D_+(f), \mathcal O|_{D_+(f)}) \cong \mathrm{Spec}S_{(f)}$$ para cualquier homogeneidad $f \in S_+$ . La biyección entre los espacios topológicos subyacentes viene dada por $$\varphi: \mathfrak a \mapsto (\mathfrak a S_f) \cap S_{(f)}.$$

Creo que necesito algunos ejemplos concretos para entender esto, así que tomo $S = \mathbb Z[X_0,X_1]$ donde el grado de $X_0$ y $X_1$ es $1$ . Sea $f=X_0$ , $\mathfrak a$ sea el ideal en $S$ generado por $X_1$ entonces es homogéneo, primo y no contiene $f$ . A través de $\varphi$ se asigna a $(\mathfrak a S_f) \cap S_{(f)}$ . Pero, ¿qué es $\mathfrak a S_f$ ? Creo que desde $\frac{1}{X_1} \in S_f$ y $X_1 \in \mathfrak a$ , $\mathfrak a S_f$ es $S_f$ mismo. Pero $S_{(f)}$ es un subring de $S_f$ , $S_f \cap S_{(f)} = S_{(f)}$ que no es un ideal primo de $S_{(f)}$ . Entonces, ¿dónde está el error?

Muchas gracias.

Answer 1

El problema de lo que has escrito es el hecho de que $X_1$ no es invertible en $S_f$ .

En particular, $\mathfrak{a}S_f=X_1 S_f\ne S_f$ . Entonces,

$$\mathfrak{a}S_f\cap S_{(f)}=\frac{X_1}{X_0}S_{(f)}$$

Este ideal ES primordial. Es decir, si se define el isomorfismo $S_{(f)}\to \mathbb{Z}[T]$ de forma natural, $\displaystyle \frac{X_1}{X_0}\mapsto T$ .