¿Cómo demostrar que este punto es indefinido?

Question

Para la función $$f(x)=\lim_{n\to \infty}\;\large \frac {1} { \frac 1 {x^n} +1},$$ ¿Cómo puedo demostrar que el punto $f(-1)$ no existe?

Answer 1

Que una función esté definida o no, no es lo mismo que un límite no exista.

Eso es, $f(x) \neq \dfrac 1 {\dfrac 1 {(x)^n} +1} = 1 - \dfrac{1}{(x)^n + 1}$ . Es evidente que la función de la derecha no está definida en $-1$ .

Algunas funciones no están definidas en determinados valores, pero, no obstante, existen límites.

En este caso, la función en cuestión se define como un límite : Es decir, la función en cuestión no es la expresión $\dfrac 1 {\dfrac 1 {(x)^n} +1} = 1 - \dfrac{1}{(x)^n + 1}$ sino el límite como $n\to \infty$ de esa expresión al valor $x$ : $$f(x) =\quad\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac 1 {\dfrac 1 {(x)^n} +1} = \lim_{n\to \infty} 1 - \dfrac{1}{(x)^n + 1}$$ que es un límite que existe para algunos valores $x$ pero no para $-1$ : Eso es, $f(-1)$ el límite cuando $x = -1$ , no existe .

(1) $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac 1 {\dfrac 1 {(-1)^n} +1} \;=\; \lim_{n\to \infty} 1 - \dfrac{1}{(-1)^n + 1}\quad$ no existe.

Sólo tiene que explicar por qué no existe el límite : como $n \to \infty$ para impar $n$ el límite diverge hasta el infinito, ya que incluso $n$ se acerca a $1$ , oscilante, por lo tanto, no existe.

Desde $f(x)$ por se define $\quad\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac 1 {\dfrac 1 {(x)^n} +1} = \lim_{n\to \infty}\quad 1 - \dfrac{1}{(x)^n + 1}$ ,

por lo tanto, de (1) debe deducirse que $f(-1)=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac 1 {\dfrac 1 {-1^n} +1},\;$ no existe.

Answer 2

Para n impar $(-1)^n=-1$ y $\dfrac 1 {\dfrac 1 {x^n} +1}$ no está bien definido o puede pensar $\dfrac 1 {\dfrac 1 {(-1)^n} +1}=\infty$ para n impar. Así que $\dfrac 1 {\dfrac 1 {x^n} +1}$ oscila entre $\infty$ y $\frac{1}{2} $

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\cfrac1{\cfrac1{x^n}+1}$$ no se define en $x=-1$ para todos los impar $n$ . Hay infinidad de ellos $n$ Por lo tanto, no puede haber un límite. (Utilizar $\delta$ - $\epsilon$ definición de convergencia de la secuencia. Preste especial atención a los cuantificadores).