¿Cómo puedo encontrar el cociente de los LCM de los primeros 116 y los primeros 113 enteros positivos?

Question

Intento resolver este problema: ¿Cuál es el cociente si dividimos el MCL de los primeros 116 enteros positivos entre el MCL de los primeros 113 enteros positivos?

En realidad pensé en abordarlo recorriendo los números uno a uno para encontrar los LCM, pero eso hace el problema demasiado grande. ¿Podríais ayudarme con un enfoque más sencillo?

Answer 1

Entiendo que "número natural" en su pregunta significa "número entero positivo" (que no es el uso estándar en matemáticas), ya que el LCM de cualquier conjunto que contenga $0$ es $0$ y el cociente de $0$ por $0$ es indefinido. Así que quieres:

$$ \frac{\operatorname{LCM}\{1,\dots,116\}}{\operatorname{LCM}\{1,\dots,113\}} $$

Dejemos que $X$ denotan el denominador. Entonces el numerador es $\operatorname{LCM}\{1,\dots,116\} = \operatorname{LCM}\{X,114,115,116\}$ . Desde $X$ es divisible por cualquier número menor o igual que $113$ y la mayoría de los números son productos de números pequeños, cabe esperar que $\operatorname{LCM}\{X,114,115,116\}$ no es mucho más que $X$ . Comprobemos esto:

$$114 = 2\cdot 3\cdot 19, \quad 115 = 5\cdot 23, \quad 116 = 2^2 \cdot 29$$

Tenga en cuenta que $X$ es divisible por las potencias primos $3,4,5,19$ y $29$ ya que todos ellos son menores que $113$ . Por lo tanto, es divisible por cualquier producto de estos, y en particular por todos los $114$ , $115$ y $116$ . Esto demuestra que:

$$ \operatorname{LCM}\{X,114,115,116\} = X $$

y por lo tanto la relación es $\frac XX = 1$ .

Answer 2

Me parece que la respuesta es la 1. Dado que el mcm de los 113 primeros números naturales es también un múltiplo de los tres restantes: 114, 115 y 116 (¿por qué?)