¿Qué $\binom{-n}{k}$ significa?

Question

Para enteros positivos $n$$k$, ¿cuál es el significado de $\binom{-n}{k}$?

Específicamente, hay combinatoria interpretaciones?

---

Edit: me acaba de llegar a través de Daniel Loeb, Conjuntos con un número negativo de elementos, los Avances en las Matemáticas. 91 (1992), 64-74, que incluye una combinatoria de interpretación para $\binom{n}{k}$ cualquier $n,k \in \mathbb{Z}$ en el teorema 5.2.

Answer 1

Es el coeficiente binomial para un exponente negativo: $$ \begin{align} (1+x)^{-n} &=\sum_{k=0}^\infty\binom{-n}{k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{k+n-1}{k}x^k \end{align} $$ Tenga en cuenta que esto se desprende de la siguiente formulación del estándar de coeficiente binomial: $$ \begin{align} \binom{-n}{k} &=\frac{\overbrace{-n(-n-1)(-n-2)\dots(-n-k+1)}^{k\text{ factors}}}{k!}\\ &=(-1)^k\frac{(n+k-1)(n+k-2)(n+k-3)\dots n}{k!}\\ &=(-1)^k\binom{n+k-1}{k} \end{align} $$

Answer 2

Si $x$ es cualquier número complejo y $k$ es un entero no negativo, entonces uno puede tomar $\dbinom x k$ $$ \frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!} $$ (de modo que el número de factores en el numerador es $k$, como en el denominador). En particular, $\dbinom x 0=1$.

Combinatoria interpretación:

Si $x$ es un entero positivo, entonces $\left|\dbinom {-x}{k}\right|$ es el número de multisets de tamaño $k$ en un conjunto de tamaño $x$.

Answer 3

Para los números enteros $n,k\ge 0$,

$$\binom{-n}k=\frac{(-n)(-n-1)(-n-2)\dots(-n-k+1)}{k!}\;.$$

Por lo tanto, $$\binom{-3}4=\frac{(-3)(-4)(-5)(-6)}{4!}=15\;.$$

De hecho, $\dbinom{x}k$ está definida para todo real $x$ y enteros $k\ge 0$ por

$$\binom{x}k=\frac{x^{\underline k}}{k!}\;,$$

donde $$x^{\underline k}=x(x-1)(x-2)\dots(x-k+1)$$ is a so-called falling factorial or falling $k$-ésima potencia.

Answer 4

Para esta respuesta probablemente sería mejor si usted está familiarizado con el Binomio de distribución.

Me gusta la interpretación a través de la probabilidad y estadística a través de la distribución binomial negativa. Digamos que estamos viendo una secuencia de cointosses (vamos a llamar a lanzar una "jefes" un éxito y "colas" de un fracaso) donde la probabilidad de un éxito es independientemente $p$. Luego el negativo de la distribución binomial es una distribución de los tiempos de espera hasta la $r$th éxito. En otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que tendremos que esperar a $t$ lanzamientos y pruebas a ver a $r$ éxitos, $p(t|r,p)$?

De manera equivalente, por la $t-1$ prueba se debe haber visto a $r-1$ éxitos y $k=t-r+1$ los fracasos. Pero, a continuación,$t=k+r-1$, y así hay $\binom{k+r-1}{k}$ maneras de observar $k$ fallas y $r$ éxitos en $t$ ensayos. Desde $r$ y $k$ completamente especificar $t$, podemos volver a parametrizar y escribir el la probabilidad de que el $r$th éxito se produce en el $(r+k)$th juicio, como

\begin{equation} p(k|r, p) = \binom{k+r-1}{k} p^r (1-p)^k \end{equation}

¿Por qué el nombre binomial negativa (y por qué es esto una respuesta a su pregunta)? Bien, porque

\begin{equation} \binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)_k}{k!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dots(r-1)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r+1)\dots(-r -k+1)}{k} = (-1)^k \binom{-r}{k} \end{equation}

Tenga en cuenta que para un entero $r$ el negativo de la distribución binomial puede ser llamado el Pascal de distribución.