Cómo encontrar una aproximación sensata de $R\dot{\theta}^2+\ddot{\theta}(R\theta-l)+g\cos\theta=0$

Question

La ecuación diferencial $$R\dot{\theta}^2+\ddot{\theta}(R\theta-l)+g\cos\theta=0$$ se deriva de considerar un péndulo unido a la parte superior de un disco.

Como en la imagen anterior (pero recuerda que la cuerda está unida a la intersección con el eje y).

De todas formas, yo estaba aproximando esto considerando pequeñas oscilaciones, como siempre. Para terminar con algo como

$$\ddot{\theta}+\frac{R\dot{\theta}}{R\theta_0-l}+\frac{g\cos\theta_0}{R\theta_0-l}=0$$

Pero esto tiene una solución compleja, y una función logarítmica de valor real, que no parece una oscilación en absoluto o físicamente sólida.

El manual de soluciones de mi libro aproxima la ecuación como $$\ddot{\epsilon}+\frac{g\sin\theta_0}{l-R\theta_0}\epsilon=\frac{g\cos\theta_0}{l-R\theta_0}$$ Donde $\epsilon=\theta-\theta_0$ . La ecuación no tiene sentido para mí, especialmente el segundo término en el LHS.

Así que me preguntaba si ustedes podrían ayudarme. Quizás darme una o dos pistas... O tal vez decirme qué hizo el autor del manual de soluciones.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\theta = \theta_0 + \epsilon$ , introduciendo en su ecuación y manteniendo sólo los términos en orden $\epsilon$ obtenemos \begin{align} R \dot \theta^2 + \ddot \theta(R \theta - l) + g \cos \theta & = \ddot \epsilon (R \theta_0 - l) + g \cos (\theta_0 + \epsilon) \\ & = \ddot \epsilon(R \theta_0 - l) + g[\cos \theta_0 - \epsilon \sin \theta_0] = 0. \end{align} La reordenación da el resultado del manual.