Distribución conjunta de dos variables aleatorias Bernoulli dependientes para $\rho=1$

Question

Digamos que tenemos dos variables aleatorias $X\sim B(p_1),\ Y\sim B(p_2)$ donde $B(p)=$ Bernoulli con probabilidad $0\le p\le 1$ . Me interesa el caso en que la correlación $\rho$ de $X,Y$ tiende a $1$ .

Si establecemos los eventos $A=\{X=1\}$ , $B=\{Y=1\}$ la propiedad de la probabilidad condicional nos da $$\begin{align}\tag{1} P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B)\\ = P(B\mid A)\cdot P(A) \end{align}$$ Cuando $\rho=1$ debemos tener $P(A\mid B)=P(B\mid A)=1$ (ya que un hecho implica el otro). Ecuación $(1)$ entonces da como resultado $$P(A) = P(B)$$ Además, si la correlación es alta (= tendiendo a 1), entonces siempre que el evento $A$ se produce entonces $B$ también debe ocurrir (y viceversa). Así que las probabilidades de $A,B$ debe ser $$P(A)=P(B)=\max(p_1,p_2)\tag{2}$$ Sin embargo, para cualquier $\rho=1-\epsilon$ con $\epsilon>0$ , todavía tenemos $P(A)=p_1$ y $P(B)=p_2$ según la definición.

Así que puede $(2)$ ¿es correcto? ¿Qué me falta?

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Desgraciadamente, Distribución conjunta de variables aleatorias dependientes de Bernoulli sólo habla de secuencias no deterministas, así que no es del todo aplicable.

Answer 1

La aparente incoherencia se debe a que $\rho$ no puede tomar todos los valores entre $-1$ y $1$ con valores específicos para $p_1$ y $p_2$ .

Utilizando la definición de coeficiente de correlación

$$\rho={{Cov(x_1,x_2)} \over {\sqrt{Var(x_1)Var(x_2)}}}={{\text{Pr}(x_1=1,x_2=1)-p_1 p_2}\over{\sqrt{p_1(1-p_1)p_2(1-p_2)}}}$$

y señalando que $\text{Pr}(x_1=1,x_2=1)\leq \text{Min}(p_1,p_2)$ podemos encontrar el valor máximo de $\rho$ para todos los valores posibles de $p_1$ y $p_2$ (aquí usando Mathematica ) :

sol = Maximize[{(P11 - p1 p2)/Sqrt[p1 (1 - p1) p2 (1 - p2)], 
    0 < p1 < 1 && 0 < p2 < 1 && 0 < P11 <= Min[p1, p2]}, P11][[1]]

$$\begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} \sqrt{\frac{\text{p1} (\text{p2}-1)}{(\text{p1}-1) \text{p2}}} & \left(0<\text{p2}<\frac{1}{2}\land 0<\text{p1}\leq \text{p2}\right)\lor \left(\frac{1}{2}\leq \text{p2}<1\land \text{p1}=\text{p2}\right)\lor \left(\frac{1}{2}\leq \text{p2}<1\land 0<\text{p1}<\text{p2}\right) \\ \sqrt{\frac{(\text{p1}-1) \text{p2}}{\text{p1} (\text{p2}-1)}} & \left(0<\text{p2}<\frac{1}{2}\land \text{p2}<\text{p1}<1\right)\lor \left(\frac{1}{2}\leq \text{p2}<1\land \text{p2}<\text{p1}<1\right) \\ -\infty & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}$$

ContourPlot[sol, {p1, 0, 1}, {p2, 0, 1}, ContourLabels -> True]

En resumen, $\rho=1$ sólo puede ocurrir cuando $p_1=p_2$ .