Dado $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ cuál es la condición necesaria para que $C=\{v_1+v_2,v_2+v_3,...,v_n+v_1\}$ ¿también será una base?

Question

Dado $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ , una base en $\mathbb{R^n}$ cuál es la condición necesaria para que $C=\{v_1+v_2,v_2+v_3,...,v_n+v_1\}$ también será una base en $\mathbb{R^n}$ ?

La respuesta a esta pregunta tiene que utilizar el hecho $\mathbf{(1)}$ esa matriz $A_{n \times n}$ de la forma: $$ \begin{bmatrix} 1&0&.&.&.&.&1 \\ 1&1&0&.&.&.&0\\ 0&1&1&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.&.&.\\ 0&.&.&0&1&1&0\\ 0&.&.&.&0&1&1 \end{bmatrix} $$

tiene det $(A)=0$ si $n$ es par mientras que det $(A) \neq0$ si $n$ es impar.

Podemos ver que $A$ puede recibirse de $I_n$ después de las operaciones que se describen en $C$ . No estoy seguro de cómo probar esto para cualquier base que no es lo mismo que $I_n$ . Si pudiera demostrar que $C$ es equivalente a la fila $A$ Podría utilizar (1) como prueba.

Answer 1

Si $\{v_1, \ldots, v_n\}$ abarca un espacio vectorial $V$ entonces para cualquier transformación lineal $A$ , $\{Av_1, \ldots, A v_n \}$ abarca la imagen de $A$ ; $A$ es invertible si su imagen abarca $V$ Así que $\{A v_1, \ldots, A v_n\}$ abarca $V$ si $A$ es invertible. Para conjuntos de $n$ vectores en un $n$ -El espacio vectorial de una dimensión, por supuesto, "abarca $V$ " y "es una base de $V$ "son equivalentes. Para su matriz particular $A$ tenemos $A v_1 = v_1 + v_2$ , $A v_2 = v_2 + v_3$ y así sucesivamente, para cualquier conjunto de vectores $\{v_1, \ldots, v_n\}$ no sólo para la base estándar. Usted debe ser capaz de sacar conclusiones de aquí.

Answer 2

Si se quiere hacer todo con determinantes, se puede razonar así: si $M$ es un $n\times n$ entonces sus columnas forman una base de $\Bbb R^n$ si y sólo si $\det(M)\neq0$ . Ahora bien, si $B,C$ son las matrices cuyas columnas describen (en coordenadas) el $n$ -tuplas de vectores del mismo nombre, entonces por construcción $C=B\cdot A$ y así $\det(C)=\det(B)\det(A)$ . Se da que $B$ describe una base, por lo que $\det(B)\neq 0$ Entonces $\det(C)\neq0$ si y sólo si $\det(A)\neq0$ que aparentemente usted sabe que es el caso si y sólo si $n$ es impar.