Dejemos que $X$ et $Y$ sean dos conjuntos completos (conectados) ordenados linealmente. Supongamos que $X'$ et $Y'$ son subconjuntos densos de $X$ et $Y$ y $X'$ et $Y'$ son de orden isomorfo en sus ordenaciones heredadas. Es $X$ isomorfo a $Y$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, en efecto, $X$ debe ser canónicamente isomorfo a la terminación Dedekind (con puntos finales) de $X'$ y de forma similar para $Y$ . Para ser precisos, digamos que un corte Dedekind en $X'$ es un subconjunto cerrado hacia abajo $L\subseteq X'$ que contiene su supremacía, si ésta existe (nótese que no requerimos $L$ que no sea vacío o un subconjunto adecuado, para permitir los cortes correspondientes a los puntos finales). Cada elemento $x\in X$ determina un corte Dedekind $$L(x)=\{y\in X':y\leq x\},$$ y si $L(x)=L(x')$ entonces $x=x'$ ya que de lo contrario habría un elemento de $X'$ entre $x$ et $x'$ por densidad. (Obsérvese que aquí tomo "denso" en el sentido de orden, no en el sentido topológico, pero son equivalentes dado que $X$ es conexo, lo que implica que el intervalo abierto $(x,x')$ en $X$ debe ser no vacía). Además, todo corte Dedekind $L\subseteq X'$ proviene de un elemento de $X$ de esta manera: ya que $X$ está completo, $L$ tiene un supremacía $x$ en $X$ y luego $L=L(x)$ .
Así que, $x\mapsto L(x)$ es una biyección entre $X$ y el conjunto de cortes Dedekind en $X'$ y, además, preserva el orden cuando se ordenan los cortes Dedekind por inclusión. Por lo tanto, $X$ es isomorfo a la terminación de $X'$ .
