¿Cómo hemos obtenido este término general para la serie?

Question

Tenemos esta serie de números:
$1, 3, 6, 10, 15$
El término general puede describirse así: $\frac{r(r + 1)}{2}$ Al parecer, las siguientes series:
$1, 4, 10, 20, 35$
Se puede describir con $\frac{r(r + 1)(r + 2)}{6}$ basado en la primera serie.
Pero no tengo claro cómo se deriva esto. ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

Utilice diferencias finitas:

Para la primera serie, tiene $$\begin{matrix} u_n&0&&1&&3&&6&&10&&15\\ \Delta u_n&&1&&2&&3&&4&&5 \end{matrix} $$ La última línea es la secuencia aritmética de los números naturales.

Para la segunda serie: $$\begin{matrix} v_n&0&&1&&4&&10&&20&&35\\ \Delta v_n&&1&&3&&6&&10&&15\\ \Delta^2v_n&&&2&&3&&4&&5 \end{matrix} $$ Hay que resolver para $\Delta v_n=u_n$ y la solución es $v_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ .

Del mismo modo, la solución de $\Delta w_n=v_n$ es $\;w_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}$ y así sucesivamente.

Añadido:

Esto está relacionado con el problema de ecuaciones de diferencias finitas . Para cualquier polinomio $p(X)\in \mathbf Q[X]$ definimos $\;\Delta P(X)=P(X)-P(X-1)$ . Una ecuación en diferencias finitas es una ecuación con un polinomio desconocido $U(X)$ dado un polinomio $P(X)$ : $$\Delta U(X)=P(X).$$ Para resolverlo, hay que utilizar una base adaptada de $ \mathbf Q[X]$ que se compone de los polinomios $$ 1,\; X,\; \frac{X(X+1)}{2}, \frac{X(X+1)(X+2)}{3!},\; \dotsm,\; \frac{X(X+1)\dots(X+r-1)}{r!},\;\dotsm $$ que se caracterizan por la propiedad de que la diferencia finita de cada una de ellas es la anterior.

Answer 2

Nota: Que a partir de la serie dada no se puede derivar una expresión única para el término general. Hay infinitas soluciones. Hay algunas que son más obvias (ver JMoravitz), pero no hay una definición matemática para más obvio hasta donde yo sé.

Por ejemplo, un polinomio de 6º grado puede ajustarse a todos los puntos, el polinomio de 7º grado ...., todo polinomio de grado superior a 6 puede tener una elección adecuada de los coeficientes para que todos los puntos dados recaigan sobre el polinomio.

Answer 3

No son series, son inicios de secuencias.

Como siempre, cuando se da el inicio de una secuencia, ésta puede continuar de cualquier manera, por lo que hay infinitas fórmulas que describirán dar una secuencia que comienza con los números dados. Sólo podemos tratar de encontrar una fórmula simple y esperar que era lo que se pensaba.

Esas secuencias son bien conocidas, así que mucha gente podrá dar las fórmulas que tienes.

Si suponemos que pueden generarse a partir de polinomios de un grado, podemos calcular las diferencias entre elementos consecutivos. Para la primera secuencia esto da: $$ 2,3,4,5 $$ y si iteramos: $$ 1,1,1 $$ Así que después de dos pasos tenemos una secuencia constante, por lo que es un polinomio de segundo grado $an^2+bn+c$ .

Si haces lo mismo con la segunda secuencia, verás que tardas tres pasos hasta que obtienes una secuencia constante por lo que los valores provienen de un polinomio de tercer grado $an^3+bn^2+cn+d$ .

Los coeficientes se pueden obtener a partir de las diferencias, o se pueden introducir algunos de los valores conocidos y obtener un conjunto de ecuaciones para los coeficientes.

Answer 4

$S = 1 + 4 +10 + 20 + 35 \cdots + a_{n-1} + a_n \cdots - 1$

$S = 1 + 4 +10 + 20 + 35 \cdots + a_{n-1} + a_n \cdots - 2$

Restando 1 a 2

$0 = 1 + ((4 - 1) + (10 - 4) + (20 - 10) + (35 - 20)+ \cdots + a_{n} - a_{n-1}) - a_n$

$a_n = 1 + ((4 - 1) + (10 - 4) + (20 - 10) + (35 - 20)+ \cdots + a_{n} - a_{n-1})$

$a_n = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + \cdots + (a_{n} - a_{n-1})$

$a_n = \sum_{r = 0}^n \frac{r(r + 1)}{2}$

$a_n = \frac{1}{2} * \sum_{r = 0}^n (r^2 + r)$

$a_n = \frac{1}{2} * (\sum_{r = 0}^n r^2 + \sum_{r = 0}^nr)$

$a_n = \frac{1}{2} * (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$

$a_n = \frac{n(n+1)}{2} * (\frac{(2n+1)}{6} + \frac{1}{2})$

$a_n = \frac{n(n+1)}{2} * (\frac{(2n+1 +3)}{6})$

$a_n = \frac{n(n+1)}{2} * (\frac{(2n+4)}{6})$

$a_n = \frac{n(n+1)}{2} * (\frac{(n+2)}{3})$

$a_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Esta forma es bastante fácil.