Si $\det(A) \neq 0$ para que $A^{-1}$ existe y el escalar $\alpha = \mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} \neq 0$ entonces tenemos
$$B^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} - \alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1}\mathbf{1}^TA^{-1} & \alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1} \\ \alpha^{-1}\mathbf{1}^TA^{-1} & -\alpha^{-1} \end{bmatrix}$$
Tenga en cuenta que
$$\begin{align}BB^{-1}&= \begin{bmatrix} AA^{-1} - A\alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1}\mathbf{1}^TA^{-1}+ \mathbf{1}\alpha^{-1}\mathbf{1}^TA^{-1} & A\alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1}-\alpha^{-1}\mathbf{1} \\ \mathbf{1}^TA^{-1} - \mathbf{1}^T\alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1}\mathbf{1}^TA^{-1} + 0\alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1} & \mathbf{1}^T\alpha^{-1}A^{-1}\mathbf{1}-0\alpha^{-1} \end{bmatrix} \\ \\&= \begin{bmatrix} I -\alpha^{-1}\mathbf{1}\mathbf{1}^TA^{-1}+ \alpha^{-1}\mathbf{1}\mathbf{1}^TA^{-1} & \alpha^{-1}\mathbf{1}-\alpha^{-1}\mathbf{1} \\ \mathbf{1}^TA^{-1} - \alpha^{-1}\alpha\mathbf{1}^TA^{-1} & \alpha^{-1}\alpha \end{bmatrix}\\ \\ &= \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}\end{align} $$
Apéndice
En general, para una matriz de bloques
$$B = \begin{bmatrix} A & C \\ E & D \end{bmatrix},$$
si $A^{-1}$ existe, entonces el Complemento de Schur de $A$ es $D- EA^{-1}C$ et
$$\det(B) = \det(A) \det(D- EA^{-1}C)$$
Así, $\det(B) \neq 0$ et $B^{-1}$ existe si y sólo si $\det(D- EA^{-1}C) \neq 0$ .
En este caso, el complemento de Schur se reduce a un escalar $-\mathbf{1}^TA^{-1} \mathbf{1}$ y la condición $\mathbf{1}^TA^{-1}\mathbf{1} \neq 0$ es necesario y suficiente para $B$ para ser invertible.
