¿Armonómica esférica a armónica hemisférica?

Question

Me hicieron una pregunta sobre cómo encontrar la función de onda de una partícula atrapada en una semiesfera.

No se mencionan otras condiciones de contorno, excepto que la base de la semiesfera se encuentra en el plano xy con un radio r.

He intentado resolver la ecuación de Schrodinger suponiendo que el potencial exterior es infinito y el interior es cero. pero no he podido resolver este ejemplo concreto debido a la forma semiesférica.

¿Cómo se transforman los armónicos esféricos en este caso? o ¿hay algo parecido a los armónicos hemisféricos?

Answer 1

Tenga en cuenta, por ejemplo, que:

$$ Y_1^0 \propto z $$

$$ Y_2^{\pm 1} \propto z $$ $$ Y_3^{\pm 0} \propto z(5z^2-3r^2) $$ $$ Y_3^{\pm 2} \propto z $$

por lo que, probablemente, mientras $l$ es par (impar) y $m$ impar (incluso), entonces $Y_{lm}$ es cero a lo largo de la base de la semiesfera.

Si se combinan con las funciones de onda radiales del espacio libre que son nulas en la frontera hemiesférica y finitas en el origen, se debería tener una solución, ya que se cumplen las condiciones de frontera y la E.S. del espacio libre se resuelve en el volumen.