Si sabemos que A es independiente de B, ¿por qué P(A|B,C) = P(A|C) no es necesariamente cierta?

Question

Digamos que sabemos que A es independiente de B, o matemáticamente:

$$P(A|B) = P(A)$$

Entonces, ¿cómo es que no podemos decir que lo siguiente es necesariamente cierto? $$P(A|B,C) = P(A|C)$$

Si el resultado de B no tiene efecto sobre el resultado de $A$ Entonces, ¿por qué el resultado de $B$ Y $C$ tienen un efecto sobre $A$ que es diferente al efecto del resultado de sólo $C$ ?

¿Existe acaso un contraejemplo sencillo para ilustrar esto? Por ejemplo, digamos que $A$ y $B$ son el caso de escoger un as de picas de una baraja (cada uno tiene su propia baraja).

Answer 1

Como dijo @Sextus Empiricus (¡el antiguo escéptico!), el fenómeno del sesgo de colisión en epidemiología es un gran ejemplo de por qué la independencia marginal de dos variables aleatorias no implica necesariamente su independencia condicional, dada una tercera variable aleatoria.

El ejemplo de Sackett (1978) es un clásico para el sesgo del colisionador. En su artículo $A =$ tener una enfermedad del aparato locomotor, y $B = $ con enfermedades respiratorias. Deje que $C$ denotan el caso de que una persona sea hospitalizada (por el motivo que sea). Observó que, entre los pacientes hospitalizados, existía una fuerte asociación entre $A$ y $B$ mientras que no hubo asociación entre $A$ y $B$ en la población general (mezcla de ambos $C$ y $\bar C$ ). Si $C$ denota hospitalización, entonces vemos que $P(A|B,C) \ne P(A|C)$ y $P(B|A,C) \ne P(B|C)$ aunque $P(A|B) = P(B)$ Esto se debe a que ambos $A$ y $B$ aumentar la probabilidad de $C$ . Hospitalización, $C$ es el colisionador, siendo un efecto común de $A$ y $B$ .