La inestabilidad original de Cooper, tal y como la trató Cooper en su artículo seminal, es efectivamente una aproximación para sólo dos electrones en la parte superior del mar de Fermi. Sin embargo, se puede precisar la noción para todo el gas utilizando la aproximación de campo medio y el procedimiento de renormalización.
Los pares de Cooper se forman sólo en las proximidades del nivel de Fermi. Entonces, esta región se despoblará y el condensado BCS se abrirá (dicho de forma pintoresca). En el mecanismo BCS, cuando la interacción atractiva es impulsada por el campo de fonones, parece coherente utilizar la energía de Debye $\hbar \omega_{D}$ como límite para su teoría, ya que ésta es la energía característica de los fonones.
El resto del mar de Fermi, al igual que para el transporte en los metales normales, no participan en el mecanismo superconductor, excepto que definen la energía de Fermi, por supuesto. Este papel es importante, los electrones de las profundidades del mar de Fermi no son propiamente superconductores.
El estado básico de BCS es variacional exacto para una interacción de punto de contacto entre los electrones en el rango de energía dado por (dos veces) la energía de Debye, como se discute en el documento original de BCS. Véase también el tratamiento de la superconductividad de Bogoliubov (aunque mucho más complicado).
No detallo más la respuesta, ya que puedes encontrar respuestas más precisas en cualquier libro de texto sobre superconductividad: Tinkham es uno muy popular. La exactitud variacional del BCS Ansatz se trata con gran detalle en deGennes. Ambos libros se llaman superconductividad algo...
